第09讲三角函数的零点问题的处理-高考数学热点难点突破技巧

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1、(-2)在(1)的条件下，当f(x)=in♦n+b=V3sincoxcoscox+cos2cox+1+b(1)・・・函数f(x)图象关于直线"一&对称，高中数学热点难点突破技巧第09讲:三角函数零点问「题的处理【知识要点】三角函数的零点问题，是考试经常考察的重点、热点和难点•三角函数的零点问题的处理一般有以下三种方法：1、单调性+数形结合.2、分离参数+数形结合.3、方程+数形结合.三种方法也不是绝对的，要注意灵活使用.【方法讲评】方法一单调性+数形结合解题步骤一般先研究三角函数的单调性，再数形结合分析.【

2、例1】己知向量总=(屈血切,n=^cosG)xfcos2a)x+1),设函数f(x)=m«n+bX=—,(1)若函数的图象关于直线6对称，且toG10,3]时，求函数门耳的单调增区间；(-2)在(1)的条件下，当时，函数几力有且只有一•个零点，求实数b的取值范围.【解析】向量用=(v'lsincox,1)>n=(costox,cos2cox+i).7T7T,71八2co•—+-=kn+—(kGZ)；662,解得：a)=3k+l(keZV

3、n+—6丿2,由262,nn[kn——,kn+—(kEZ)所以函数的单调增区间为B6(2)由(1)知f(光)=sin(2尤+9+£+乙Vxe[O^],•••2光+2E［夕子］,•••2光+?丘$冲］，即无E［0$］曰寸,函数兀对单调递増;2先+g誇,即讥&为时7n>0>f(——)=012时函数几兀)有且只有一个■零点.4tt35tt35sin——<-b——

4、增区间，所以第2小问对零点问题的研允，可以利用单调性+数形结合方法分析解答.第2问首先求复合函数/'(%)=sin(2x+£)+

5、+b题吋，只要写不等式,上的单调性，再数形结合分析函数零点的个数.(2)在解答数学问4tt357Tsin—<-b——0：x2+y2=1上的一点，以兀轴的非负半轴为始边、0P为终•边的角记为0(0<3<2^),又向量丘=(石1)。且f(0)=e^OP.(1)求/(&)的单调减区间;(

6、2)若关于0的方程/(0)=2sina在一,内有两个不同的解，求仅的取值范围…方法二•解题步骤分离参数+数形结合先分离参数，再画出方程两边的函数的图像，数形结合分析解答.【例2】己知函数/(x)=2/3sin(x+—)cos(x+—)+sin2x+a的最大值为1.44(1)求函数.f(x)的单调递增区间；TT7T(2)将/(劝的图象向左平移冬个单位，得到函数g(x)的图象，若方程g(x)-m=0在xe[O,-]上有解,62求实数加的取值范围・/、【解析】(1)v/(%)=V3sin2x+—+sin2x+6

7、?=V3cos2x+sin2x+a—2sin2x+—+a二2+a=1,/.ci——1I3丿JTTTTTj7TTT由一-+2k7v<2x+-<-+2k7r9JWW-—+^

8、in2x+2兀、=-i,g(x)取最小值-3.方程g(x)=m在xelO,yJ上有解，即-3^/71^73-1【点评】(1)本题就是先分离参数加，再分别画方程左右两边的函数的图像数形结合分析.(2)本题也可以单调性+数形结合的方法分析解答.它们之间不是绝对的，要注意灵活使用•学@科网【反馈检测2】已知函数/(J；)=sin69X+V3COS69^(o>>0)的周期为龙.(1)若XG[0,+00),求它的振幅、初相；(2)在给定的平面直角坐标系中作出该函数在xg[0,tt]的图像；(3)当xe[0^]时，根据

9、实数加的不同取值，讨论函数^(x)=f(x)-m的零点个数.方法二方程+数形结合解题步骤先解方程，再数形结合分析解答.IT【例3】己知函数/(x)=2sin(2x+-)+l.4(I)当X-—71吋，求/(X)值；(II)若存在区间［a,b］{a,b^R且avb),使得y=/(兀)在［d,®上至少含有6个零点，在满足上述条件的」中，求b-a的最小值.A4【解析】(1)^x=-^B寸，/(x)=2sin(2x-i+^