高中数学第二章函数2.4函数与方程2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法_二分法课堂导学案

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1、2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法—二分法课堂导学三点剖析一、函数零点的性质【例1】函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间［-2,4］上的零点必定在()A.［-2,1］内B.［,4］内C.［1,］内D.［,］内解析：由于f(-2)=-8-8-6-6=-28<0,f(4)=64-32+12-6=38>0,且f()=f(1)=1-2+3-6=-4<0,∴零点在区间［1,4］内.又f()=f()=+-6=-11>0,∴零点在区间［1,］内.又f()=f()<0,∴零点在区间［,］内.∴选D.答案：D二、求方程的近似解【例2】求

2、方程2x3+3x-3=0的一个实数解,精确到0.01.思路分析：考查函数f(x)=2x3+3x-3,从一个两端函数值反号的区间开始,应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间.解:经试算,f(0)=-3<0,f(2)=19>0,所以函数f(x)=2x3+3x-3在［0,2］内存在零点,即方程2x3+3x-3=0在［0,2］内有解.取［0,2］的中点1,经计算f(1)=2>0,又f(0)<0,所以方程2x3+3x-3=0在［0,1］内有解.如此下去,得到方程2x3+3x-3=0实数解所在区间如下表所示.左端点右端点第1次02第2次01第

3、3次0.51第4次0.50.75第5次0.6250.75第6次0.68750.75第7次0.718750.75第8次0.7343750.754第9次0.7343750.7421875∵0.7421875-0.734375=0.0078125<0.01.∴x10==0.73828125≈0.74为方程2x3+3x-3=0精确到0.01的一个实数解.三、函数零点的应用【例3】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若a>b>c且f(1)=0,证明f(x)必有两个零点;(2)若对x1、x2∈R且x1

4、方程f(x)=［f(x1)+f(x2)］有两个不等实根,证明必有一实根属于(x1,x2).证明:(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0.又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即ac<0.∴Δ=b2-4ac>0.∴方程ax2+bx+c=0有两个不等实根.故函数f(x)有两个零点.(2)令g(x)=f(x)［f(x1)+f(x2)］,则g(x1)=f(x1)［f(x1)+f(x2)］=,g(x2)=f(x2)［f(x1)+f(x2)］=.∴g(x1)·g(x2)=［f(x1)-f(x2)］2.∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)·g(x

5、2)<0.∴g(x)=0在(x1,x2)内必有一实根.故f(x)=［f(x1)+f(x2)］在(x1,x2)内必有一实根.各个击破类题演练1函数y=lgx的零点所在的大致区间是…()A.(6,7)B.(7,8)C.(8,9)D.(9,10)解析：代入验证,可知f(9)=lg9-1<0,f(10)=1>0.∴f(9)·f(10)<0.答案：D变式提升1下列各图中函数图象与x轴均有公共点,但不能用二分法求公共点横坐标的是()解析：用二分法只能求变号零点的近似值,而B中的零点是不变号零点,故选B.4答案：B类题演练2求方程x3-4x+1

6、=0的一个正数的零点.(精确到0.1)解析：设f(x)=x3-4x+1,由于f(1)=-2<0,f(2)=1>0,故可取区间［1,2］作为计算的初始区间.用二分法逐次计算，列表如下：端点(中点)坐标计算中点的函数值取区间f(1)=-2<0x1==1.5x2==1.75x3==1.875x4=1.813x5=1.844ff(2)=1>0f(1.5)=-1.625<0f(1.75)=-0.641<0f(1.875)=0.092f(1.813)=-0.296f(1.844)=-0.107［1,2］［1.5,2］［1.75,2］［1.75

7、,1.875］［1.813,1.875］由上表计算可知区间［1.813,1.875］的长度小于0.1,∴这个区间的中点1.8437为所求函数的一个正实数零点近似值.变式提升2先用求根公式求出方程2x2-3x-1=0的解，用二分法求出这个方程的近似解.(精确到0.1)解析：方程的两个解分别为x1=,x2=.取区间(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275).令f(x)=2x2-3x-1在区间(1.775,1.8)内,用计算器可算得f(1.775)=-0.02375,f(1.8)=0.08.于是f(1.775)5f(1.8)<

8、0.∴方程在区间(1.775,1.8)内有一个解.又

9、1.8-1.775

10、=0.025<0.1,此时区间(1.775,1.8)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.8，∴方程在区间(1.775,1.8)内精确到0.1的近似解为1.8.同理,可得方程