2019_2020学年高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率学案含解析新人教A版必修

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1、3.1.1　倾斜角与斜率知识导图学法指导1.倾斜角和斜率都是表示直线方向的几何量，它们分别从“形”和“数”两方面反映直线的倾斜程度．2．求直线斜率的方法有：定义法、公式法等．3．用正切函数(k＝tanα)的图象来掌握倾斜角和斜率之间的关系并熟记．4．由两点坐标计算直线的斜率，为求直线的方程奠定基础．高考导航1.已知直线的倾斜角(斜率)，求直线的斜率(倾斜角)的问题，一般以选择题、填空题的形式出现，分值5分．2．过两点的直线的斜率公式是高考的高频考点，常与其他知识相结合，各种题型均有出现，分值4～6分.知识点一　直线的倾斜角1．直线l的倾斜角的

2、概念一个前提：直线l与x轴相交；一个基准：取x轴作为基准；两个方向：x轴正方向与直线l向上方向．2．倾斜角的范围当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为[0°，180°)．1.倾斜角定义中含有三个条件：①x轴正方向；②直线向上的方向；-10-③小于180°的非负角．2．平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．知识点二　直线的斜率1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率．2．记法：斜率常

3、用k表示，即k＝tan_α.3．斜率与倾斜角的对应关系.图示倾斜角α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率0k>0不存在k<04.公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式k＝.直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率．(　　)(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1.(　　)(3)若一条直线

4、的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tanα.(　　)(4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．[2019·山东省枣庄市校级月考]给出下列结论：①任意一条直线有唯一的倾斜角；②一条直线的倾斜角可以为－30°；③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；④若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0,1)；⑤若α是直线l的倾斜角，且sinα＝，则α＝45°.其中正确结论的个数是(　　)A．1　B．2C．3D．4解析：任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因

5、此①正确，②③错误．④中当α＝0°时，sinα-10-＝0，故④错误，⑤中α有可能为135°，故⑤错误．答案：A3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　)A.B.C．1D.解析：由题意可知，直线l的斜率k＝tan30°＝.答案：A4．[2019·泰州校级月考]经过点(0,2)和点(3,0)的直线的斜率为(　　)A.B.C．－D．－解析：斜率k＝＝－.答案：C类型一　求直线的倾斜角例1　求图中各直线的倾斜角．【解析】　(1)如图(1)，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为6

6、0°.(2)如图(2)，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°.(3)如图(3)，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°.-10-求直线的倾斜角，关键是依据平面几何知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的定义及倾斜角的范围．方法归纳根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图；然后根据定义找直线向上的方向与x轴的正方向的夹角，即为直线的倾斜角．画图时

7、一般要分情况讨论，讨论时要做到不重不漏，讨论时的分类主要有0°、锐角、直角和钝角四类．跟踪训练1　设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α.如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)A．α＋45°　B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°解析：根据题意，画出图形，如图所示．A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过图形可知：当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°

8、＋α－180°＝α－135°，故选D.答案：D条件中未指明α的范围，画出图形考虑到倾斜角的范围，对α分类讨论．类型二　直线的斜率例2　(1)已知两条直线的倾斜角分别