第09讲+三角函数的零点问题的处理-高考数学热点难点突破技巧+含解析

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1、高中数学热点难点突破技巧第09讲:三角函数零点问题的处理【知识要点】三角函数的零点问题，是考试经常考察的重点、热点和难点•三角函数的零点问题的处理一般有以下三种方法：1、单调性+数形结合.2、分离参数+数形结合・3、方程+数形结合.三种方法也不是绝对的，要注意灵活使用.【方法讲评】方法-单调性+数形结合解题步骤一般先研究三角函数的单调性，再数形结合分析.［例1］已知向量用=帀3垃1),n=(cosaix^of^aix+1),设函数f(x)=川•亦十h71X—(1)若函数/(X)的图彖关于直线&对称，且e(0#3］时，求函数/(X)的单调增区间；<7nx€

2、0,］、(2)

3、在(1)的条件下，当12时，函数/(刃有且只有一个零点，求实数〃的取值范围.【解析】向量用=(VJsina爲1),n=(cose篇cos2a光+1),/(x)=m•n+^=^sincaxcosajx+cos2cox+1+&vl13JT3=—sin2ojx+-cos2+-+d=sin(2tox+-)+-+&n(1)・・•函数/I")图象关于直线"一6对称，nJT3T“+=Azr+(k€Z):66»丿，解得：3=3k+l(kwZ),・.・3E[0,3]n3n7rbn/(.r)=sin(2x+)+4-b2kn-<2x+<2kn+；62由262,解得:jtnkn-3

4、kGZ)JT.7T、[kx-,kn+](k€Z)所以函数/(x)的单调增区间为36（2）由（1）知f（町二sin（2光+p+*b,•:xe[O^]?••・力+〃&节],・・・2光即讥[①卵寸，函数几龙)单调递増;节],即心證时,函数几龙)单调递减.又f(O)=f®/(-)>0>/(-)/(・)=0・••当312或&时函数/d)有且只有一个零点._4rr,35zr3.x/3-35sin<-h-

5、研究，可以利用单调性+数形结合方法分析解答.第2问首先求复n3rInl(x)=sin(2x+)+4-bxG[0rJ合函数&2在12上的单调性，再数形结合分析函数零点的个数.(2)在解答数学问题时，只要写不等式，一定要注意取等问题，本题第2问4rr35ttsin<-b-

6、，再画出方程两边的函数的图像，数形结合分析解答./(x)=2^an(x-i-—)cq«(x4-^)+an2r+a【例2】已知函数44的最大值为1.(1)求函数，匕)的单调递增区间；n(2)将的图象向左平移&个单位，得到函数的图象，若方程0在X丿吟上有解，求实奶的取值范围.2+u2x+a=^cm2x+hi2x4-d所以函数的单调递增区间(3)•・•将/U)的图象向左平移三个单位，得到函数gb)的图象，由方程g(.v)-m=O得g(x)=m・6/二g(x)=/i71x+—6=2sin+—=2sin!2x+3空］£3'•-1(或写成貳刘二28§(2x+W)-1)2tt5/T

7、T=TT签，屮+2/32,貳刘取最大值石一1；」二当込碍弓时'g(对取最小值-3.方程gW=m在xe[O,-]上有解，即-3W用W若一1【点评】(1)本题就是先分离参数朋，再分别画方程左右两边的函数的图像数形结合分析.(2)本题也可以单调性+数形结合的方法分析解答.它们之间不是绝对的，要注意灵活使用.【反馈检测2】己知函数m血砥4■石EQ2A0!的周期为片.(1)若"[cm,求它的振幅、初相；⑵在给定的平面直角坐标系中作出该函数在"[5】的图像；(1)当"［°旳时，根据实数皿的不同取值，讨论函数&E"⑴F的零点个数.1'i"m"rttr1-rn方法三解题步骤.J-Ll」

8、IIIIIIIIIIII方程+数形结合先解方程，再数形结合分析解答./(x)=2aaC2x4--)+l【例3】已知函数3求y⑴值;(II)若存在区间【务列严上且ovb),使得=在【父可上至少含有6个零点，在满足上述条件的【久对屮，求的最小值.4Arrrr【解析】(1)当x=“寸，/(A-)=2sin(2X-i+^-)+1=2sin(3,T)+l=2sinzT+l=l.rr1rr一⑵/(.r)=0sin(2x+x=fcT--或兀=斤疗—右迅斤eZ,即/(x)的零点相离间隔依次32412为2和兰，33故若y=/(-V)在［a方］上至少含有6个