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1、....一、导数与单调性(一)含参数函数的单调性1.已知函数f(x)=x-ax+(a-1),讨论函数的单调性,求出其单调区间。解:的定义域为.(1)(2)①若即时,>0,故在单调递增.②若0<,即时,由得,;由得,故在单调递减,在单调递增.③若,即时,由得,;由得,故在单调递减,在单调递增.2.(文)讨论的单调性解:的定义域为(它与同号)I)当时,恒成立(此时没有意义)此时在为单调增函数,即的增区间为II)当时,恒成立,(此时不在定义域内,没有意义)此时在为单调增函数,即的增区间为III)当时,令
2、此时在为单调增函数,在是单调减函数,.word资料可编辑.....即的增区间为;的减区间为.2.(理)设函数(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求函数的单调区间;(Ⅰ),曲线在点处的切线方程为.(Ⅱ)由,得,若,则当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,若,则当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,3.已知函数,讨论的单调性.本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性,考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。解析的定义域是(0,+),设,二次方程的判别式.当,即时,对一切都
3、有,此时在上是增函数。.word资料可编辑.....①当,即时,仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。当,即时,方程有两个不同的实根,,.此时在上单调递增,在是上单调递减,在上单调递增.4.已知函数.讨论函数f(x)的单调性.解:.①当a+1≤0,即a≤﹣1时,f'(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)单调递减;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7分)②当a≥0时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)单调递增;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)③当﹣1<a<0时,由f'(x)>0得,∴或(舍
4、去)∴f(x)在单调递增,在上单调递减;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)综上,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)单调递增;当﹣1<a<0时,f(x)在单调递增,在上单调递减.当a≤﹣1时,f(x)在(0,+∞)单调递减;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分).word资料可编辑.....(二)单调性的逆用1.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数,则实数k的取值范围()A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析:函数的定义域为,所以即,,令,得或(不在定义域内舍),由于函
5、数在区间(k-1,k+1)内不是单调函数,所以即,解得,综上得,答案选B.2.已知函数,在x=1处取得极值2.(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)m满足什么条件时,区间为函数的单调增区间?解析:(1)已知函数=,.………………2分又函数在x=1处取得极值2,即…4分当a=4,b=1,,当,..……………6分(2)由.……………8分所以的单调增区间为.…………………10分.word资料可编辑.....若为函数的单调增区间,则有解得即时,为函数的单调增区间.………………12分3.已知函数.(1)若函数在处取得
6、极值,求实数的值;(2)若函数在定义域内单调递增,求实数的取值范围;【答案】(1);(2);.【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,根据题意解关于a的等式,即可得到实数a的值;(2)由题意,不等式在(0,+∞)内恒成立,等价转化为在(0,+∞)内恒成立,求出右边的最小值为-1,即可得到实数a的取值范围;(3)原方程化简为,设,利用导数研究g(x)的单调性得到原方程在[1,4]上恰有两个不相等的实数根的等价命题,建立关于b的不等式组并解之,即可得到实数b的取值范围.试题解析:(1)由可得;(2)函
7、数的定义域是函数在定义域内单调递增在上恒成立即在上恒成立二、含参数函数的极值与最值,恒成立问题.word资料可编辑.....1.已知函数在处取得极值.(1)求的值;(2)求函数在上的最小值;(3)求证:对任意、,都有.【答案】(1)a=1;(2);(3)见解析【解析】试题分析:(1),1分由已知得,即,解得a=1.3分当a=1时,f(x)在x=1处取得极小值,所以a=1.4分(2),,令得x>1,令得x<1,所以函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,5分①当时,在上单调递增,;②当08、,在上单调递减,在上单调递增,;③当时,,f(x)在上单调递减,.综上,f(x)在上的最小值8分(3)由(1)知,.令,得x=1,因为,.word资料可编辑.....所以,时,.10分所以,对任意,都有.12分2.(12分)已知函数f(x)=lnx-mx(mR).(1)若曲线y=f(x)过点P(1,-1),求曲线y=f(x)在点P处的切线方程;(2)若f(x)0恒成立求m的取值范围.(3)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值;【答案】(1),(2),(3)参考解析【解析】试题分