18.1 平行四边形边、角的性质

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1、18.1平行四边形的性质教学设计知识技能目标：1．综合运用平行四边形的特征和识别方法，解决一些开放型的问题；2．利用平行四边形和三角形的面积公式进行有关的计算．过程性目标：1．通过一题多变，在解决问题中培养创新意识和发散思维能力；2．在“观察”、“猜想”中感受研究数学的乐趣；3．探索同底等高的平行四边形和三角形的面积之间的关系．教学过程：一、探究新知师小学里，我们已学习了三角形和平行四边形的面积计算公式，哪位同学能回忆出这两个公式呢？生S△ABC=BC×AE；SABCD=BC×AE=AD×CF．二、新知梳理师 如图，已知直线m∥n，A、B为直

2、线n上两点，C、P为直线m上两点．(1)请写出图中面积相等的三角形．(2)如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有与△ABC的面积相等．理由是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．生S△ABC=S△PAB、S△APC=S△BPC、S△AOC=S△BOP．理由是△ABC和△PAB的底相同，高相等；△APC和△BPC的底相同，高也相等；而S△ABC=S△PAB，∴S△ABC－S△AOB=S△PAB－S△AOB，∴S△AOC=S△BOP．师当P点运动到某一位置且使BP∥AC时，△ABC的面积和四

3、边形CABP的面积有何关系？生当P点运动到某一位置且使BP∥AC时，则四边形CABP是平行四边形,则S△ABC=S平行四边形CABP．师 由此我们可以这样认为“同底(或等底)等高的三角形面积相等”，“三角形的面积等于与它同底等高平行四边形面积的一半”．三、教学应用例1设平行四边形的面积为S．如图(1)AC为ABCD的对角线，试用S来表示△ABC和△CDA的面积．如图(2)E为BC上任一点，试用S来表示△AED的面积．如图(3)E为BC的中点，F为AB的中点，试用S表示△DEF的面积．解(1)S△ABC=S△CDA=S；(2)S△AED=S；(

4、3)∵AF=BF=AB，BE=EC=BC，∴S△AFD=S，S△DEC=S，S△BEF=S，∴S△DEF=S．例2已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3，△ABC的高为h．“若点P在一边BC上，如图(1)，此时，h3=0,可得出结论h1+h2+h3=h．”请直接应用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内(如图(2))、点P在△ABC外(如图(3))这两种情况时，上述结论是否仍成立？若成立，请给予说明；若不成立，h1、h2、h3与h之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需说明．解  当点P在△

5、ABC内时结论h1+h2+h3=h仍成立．连结PA、PB、PC，设△ABC的边长为a．∵S△ABC=BC×AM=ah，又∵S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC=AB×PD+AC×PE+BC×PF=ah1+ah2+ah3．∴ah1+ah2+ah3=ah，∴h1+h2+h3=h．当点P在△ABC外时结论h1+h2+h3=h不成立．连结AP、BP、CP，设△ABC的边长为a．S四边形ABPC=S△ABC+S△PBC=ah+ah3．又S四边形ABPC=S△PAB+S△PAC=ah1+ah2．∴ah+ah3=ah1+ah2．∴h=h1+h2－

6、h3．∴它们的关系是h=h1+h2－h3． 例3如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵梨树，田村准备开始挖池塘建养鱼池，想使建后的鱼池面积为原来池塘面积的两倍，又想保持梨树不动，并要求建后的池塘成为平行四边形形状．请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形，若不能，请说明理由(画图保留痕迹，不写画法)．能连结AC、BA，分别过A、B、C、D作BD、AC、BD、AC的平行线，相交于E、F、G、H．平行四边形EFGH就是所求的四边形．四、总结反思师在研究同底等高的平行四边形和三角形的面积的联系问题中，应寻找

7、平行四边形和三角形的底、平行四边形和三角形的高之间的关系，再利用面积公式进行有关的计算．五、检测作业1.如图，点P为四边形的边CD上一个动点，当四边形ABCD满足什么条件时，△PAB的面积始终保持不变(只需补充你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的条件)?2．如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，试说明AC、BD把平行四边形分成的四个三角形面积相等．若点E是AC上任意一点，可进一步得出哪些三角形的面积相等?　3．等腰△ABC中，D是BC上任一点，过点D作DE⊥AB于E、过点D作DF⊥AC于F、过点B作BG⊥AC于G，试说明BG=DF

8、+DE．