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《利用导数探究f（x）是否穿过x轴单调的策略》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、利用导数探究f(X)是否穿过X轴单调的策略在高屮数学屮，冇一类函数问题需要利用导数方法探究函数f(x)在区间D上是否穿过x轴单调递增或单调递减.对此类问题，许多学生找不到突破口，甚至束手无策.以下结合实例探讨判断函数f(x)在区间D上是否穿过x轴单调递增或单调递减的策略.1判断函数f(X)的值的符号例1已知aWR,关于x的方程xx2+x+2=a最多有()个实数解.A.IB.2C.3D.4解析原题可转化为函数f(x)二xx2+x+2与y=a的交点问题•对函数f(x)二xx2+x+2求导后得f'(x)=2~x2(x2+x+2)2,由此可得，f(x)
2、在(-8,-2],[2,+8)上单调递减，f(x)在[-2,2]上单调递增.下面我们要关心的问题是，f(x)在(―,-2],[2,+8)上单调递减是穿过x轴单调递减吗？图1因为x取一切实数，x2+x+2>0恒成立，所以xW(-8,-2]时，f(x)0,故f(x)在(-8,-2],[2,+8)上都不是穿过x轴的单调递减，其模拟图象如图1,于是直线y=a与函数y二f(x)最多有2个不同的交点，故选B.评注此题用极限思想也可以判断函数f(X)在单调区间(-8,-2］,［2,+8)上的图象的走向.2判断函数f(x)的值的符号与极限思想并用例2已知关于x
3、的方程lnxx二a有且只有一个实数根，求实数a的取值范围.解析原题可转化为函数f(x)二lnxx与y=a的交点问题.因为「(x)=l-lnxx2,注意到定义域是(0,+8),所以由此可得，f(x)在(0,e'上单调递增，f(x)在［e,+8)上单调递减.下面我们耍关心的问题是，f(x)在(0,e］上是否是穿过x轴的单增？f(x)在［e,+°°)上是否是穿过x轴的单减？因为f(e)二le>0,f(1)二0,且x二0时，方程lnxx二0无实根,即函数f(x)二lnxx无意义(不存在)，所以f(x)在(0,e］上是穿过x轴的单增，且x二0(y轴)是函
4、数f(x)的图象的一条渐近线.图2因为f(e)=le>0,在［e,+°°)上，f(x)>0,所以f(x)在［e,+8)上是没有穿过x轴的单减，且y二0(x轴)是函数f(x)在区间［e,+8)上的图象的一条渐近线，如图2,于是由函数f(x)=lnxx的图象与直线y=a有且只有一个交点得aWO.故实数a的取值范围是bWO.评注上述例1、例2是两道典型的具有代表性的易错题，错因是判断函数f(X)的图象的变化趋势不准确.3极限思想例3已知当xW[0,+8)时，关于x的不等式ax2~x+ln(x+1)WO恒成立，求实数a的取值范围.解析设f(x)=ax2
5、-x+ln(x+1),f7(x)二x[2ax+(2a-l)]x+l.若沪0,则ff(x)二-xx+l〈O・f(x)在[0,+°°)上单调递减，又f(0)=0,如图3,所以a二0符合题意.图3图4若a>0,则当l-2a2al2时，f(x)在[0,+~)上单调递增，又f(0)二0,如图4,所以a>12不符合题意.当l-2a2a^000,l-2a2a±单调递减；在1-2a2a,上单调递增，又f(0)二0,这时，我们要关心的问题是，f(x)在l-2a2a,上是穿过x轴递增吗？因为X-+8时，f(x)-+8,所以0若a〈0,则f'(x)二x[2ax+(2
6、a-l)]x+l〈0・所以f(x)在[0,+8)上单调递减，如图3,又f(0)二0,故a<0符合题意.综上，实数a的取值范围是aWO.评注当l-2a2a^000,从而f(x)在［l-2a2a,+°°)上是穿过x轴单调递增.例4证明：当xe［l,+8)时，12x+12(x+1)>ln(1+lx)・图5证明令f(x)二12x+12(x+1)-In(1+lx)(x$l),因为f‘(x)二-12x2(x+1)2<0,又X-+8时，f(x)->0,所以函数f(x)在［1,+8)上单调递减，且f(x)的值无限趋近于0,故在区间［1,+->)上，f(x)的图
7、象恒在x轴上方，即在［1,+8)上，f(x)是没有穿过x轴的单调递减,如图5,故f(x)>0,从而不等式12x+12(x+1)>ln(1+lx)(x21)成立.4零点思想例5已知关于x的不等式a-12ex+xex-2a<0在区间(0,+°°)上恒成立，求实数a的取值范围.解析a-12ex+xex~2a令f(x)二(a~12)e2x~2aex+x,f7(x)二(2a~l)e2x~2aex+l=(ex~l)［(2a~l)ex-1］.若2且-1W0&W12.此时,在区间(0,+8)上恒有f，(x)<0,从而f(x)在区间(0,+8)上是减函数；要使f
8、(x)〈0在区间(0,+8)上恒成立，只需满足f(0)WO,其模拟图如图6,f(0)WO-aT2W0a$-12,由此求得a的取值范围是-12,12.图
