弹性力学第2章应力分析

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1、应力分析第2章应力分析本章用静力学观点研究物体在外力作用下的平衡状态，介绍应力的概念及其性质，包括斜截面的应力、坐标变换公式、主应力状态、应力张量不变量及其在塑性力学中的应用，八面体上的应力及其应力张量分解为球形应力张量和偏斜应力张量，最后导出应力应满足的平衡微分方程。本章不涉及材料的力学性质，所得结论对各种连续介质均普遍适用。§2.1基本概念固体力学研究的对象是在外力作用下处于平衡状态时任意形状的变形固体。作用外力是指其它物体对该物体的作用力。在固体力学中通常假定外力（荷载）是已知的。外力的不同作用方式，一般可分为体积力和表面力，简称体力和面力。体力是指

2、分布在物体整个体积内的外力。例如，物体所受的重力、惯性力以及在磁场中所受的磁力等。物体内各点所受的体力一般是不相同的。为表明物体内任一点M所受体力的大小和方向，可取一包含M点的微分体，它的体积为V（图2-1a）V设上的体力为F，则体力的平均集度为F/V。令V无限缩小而趋于M点时，则F/V将趋于一定的极限F，即FlimF(a)V0VzzfzFpzPFPVAfypyMMfxpxoyoyx(a)x(b)图2-1极限矢量F就是M点所受体力的集度。F的方向与F的极限方向相同。F在坐标轴x、y、z上的投影分别为f、f,、f，称为M点

3、的体力分量。规定沿坐标轴正方向的xyz-3分量为正，沿坐标轴负方向的分量为负。体力的因次是[力]·[长度]。10应力分析面力是指分布在物体表面上的外力。例如，液体压力、风力和接触力等，都是面力，物体表面上各点所受面力一般也是不相同的，为表明物体表面任意一点M所受面力的大小和方向，在M点的邻域内取一包含M点的微分面积为A，如图2-1b所示。设A的面力为P，则面力的平均集度为它的面积为P/A，令A无限缩小而趋于M点，则P/V将趋于一定的极限P，即PlimP(b)A0A极限矢量P就是M点所受面力的集度。P的方向与P的极限方向相同。P在

4、坐标轴x、y、z上的投影分别为p,、p,、p，称为xyzzQPM点的面力分量。规定沿坐标轴正方向的分量n-2pP为正，反之为负，面力的因次是[力]·[长度]1在外力作用下，物体内部或部分之间将产生Bm“附加内力”简称为内力。确定内力的方法是截mAMP2面法。A设一任意形状的物体，受外力作用时而处于平衡，如图2-2所示，确定任意截面mm上oy某一点M处的内力，可用假想的一个平面沿mm面将物体截开，分成A，B两部分。这两部分在mm面上将有内力相互作用。移去Bx图2-2部分，则B部分对A部分的作用以内力表示。围绕M点取一微分面积ΔA，作用于ΔA上的内力

5、为ΔQ，则内力的平均集度为ΔQ/ΔA。令ΔA无限缩小而趋于M点，则在内力连续分布的条件下ΔQ/ΔA将趋于一定的极取p，即：Qlimp(c)A极限矢量p就是mm截面上M点的总应力。p的方向与ΔQ的极限方向一致。为应用方便，通常把总应力p分解为沿其所在截面的法线方向和切线方向的两个分量，总应力沿截面法线方向的应力分量称为正应力，以符号表示。总应力沿截面切线方向的应力分量称为切应力，以符号τ表示，显然222p（2-1）-2应力的因次是[力]·[长度]§2.2一点的应力状态一般来说，物体内同一截面上不同点的应力是不同的，过同一点不同方向截面上应力

6、11应力分析的总体称为该点应力状态，研究一点的应力状态，就是确定过该点不同方向截面上应力的大小和方向，建立它们之间的关系，这对于解决物体在弹性或塑性阶段的强度问题，尤其是建立复杂应力状态下的强度理论，是很重要的。为研究外力作用下物体内任意点M(x,y,z)的应力状态，可围绕M点用平行坐标面的三对平行面切出一微分六面体，简称单元体或微分体（图2-3）。当单元体各边长dx、dy、dz无限缩小时，单元体即趋于M点。因此，这个单元体各个截面上的应力状况，就可表示M点的应力状态。σzzτzyzτzxσxτxyτyzdyτyxdxσyτxzτxzMdzσyτyzτxy

7、τyxσxoτzxyτozyyxσz图2-3x图2-4假定单元体各截面上的应力是均匀分布的，这些应力便可用作用在各截面中心点的一个应力矢量表示。这个应力矢量又可分解为一个正应力和两个切应力，它们分别与三个坐标轴平行，如图2-4所示。显而易见，微分体的六个面上共有九个应力分量，即：,,,,,,xxyxzyxy,yzzx,zyz正应力加上一个坐标角码，表明这个正应力的作用面和作用方向。例如：是作用x在垂直于x轴的面上，沿着x轴方向的作用正应力，切应力τ加上两个坐标角码，第一角码表明作用面垂直于该坐标轴，第二个角码表明应力作用方向沿着该坐标

8、轴。例如，是作xy用在垂直于x轴的面上，沿着y轴方向作用的切应力