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1、古典概型解题的归纳和分析（西北师范大学数学与信息科学学院甘肃兰州730070）摘要：本文通过对古典概型的模型归纳使得在计算古典概率时更加便捷和准确.关键词：古典概型；模型；概率古典概型的研究在历史上最先开始，它简单、直观，不需做大量的重复试验，在经验事实的基础上，经过逻辑分析得出事件的概率•因此，古典概型在概率论中占有相当重要的地位，占典概型解题的很好掌握不仅可以为其它的概率的学习奠定基础，而且有助于直观的理解概率论中的许多基本概念，古典概型是最基本的一种概率模型，也在实际屮有广泛的应用，在本质上是研究等可能事件（基本事件）的概率的模型.—、古典概型的基本性质1.等可能性
2、，即每个样本点发生的可能性相等•如抛一枚理想的均匀硬币“出现正面”与“岀现反面”的可能性相等.2.所涉及的随机现象只有有限个样本点，譬如样本点为〃个.3•若事件A含有K个样本点，则事件A的概率为二事件A所含样本点的个数二kQ中所有样本点个数n二、古典概型模型归纳1.抽样模型抽样有两种方式：放回抽样与不放回抽样（1）放回抽样放冋抽样是抽取-件后放冋，然后再抽取下一件，……，如此重复直至抽出斤件为止.例1一批产品共有W件，其中M件事是不合格品，N-M件是合格的，从中随机抽取”件，试求事件“取出的77件产品中有M件不合格品”的概率.解第一次抽取时，可从N件中任取一件，有N种取法
3、•因为是放回抽样，所以第二次抽取时，仍有N种取法，，如此下去，每次都有N种取法，一共抽取了n次，所以共有N"个等可能的样本点.事件B“二“取出的n件产品全是合格品”，故乞的概率为:N”P"d事件B产“取岀的n件产品全是合格品”，故冋的概率为:ATP(BJ事件B,”二“取岀的斤件产品全是合格品”，故乞的概率为:(M,n(N-My-,n/(MmNnmV"丿UJP(BJ=(1_理)"-加N由于是放回抽样，不合格品在整批产品中所占比例M/N是不变的，记p=M/Nf则上式可改写为：P(BJ=Mpni-py-mfm=0,1,2•••,/?.W丿例2有一袋内装有编号为1—5
4、的5个球，从袋内放冋按顺序任取3个球,问3个球编号组成奇数的概率？解设A二“3个球编号组成奇数”，基木事件总数为空，A所含基木事件总数为52X3.故P(A)二菩^二
5、=0.6例3(随机取数问题)从0〜9中任取一数，假定每个数字被取出的机会是均等的，每次取出一数，取后放冋，连续取4次•求：(i)4个数字全相同的概率.(ii)不含数字2和7的概率.(iii)数字6恰好出现2次的概率.解设A=｛4个数字全不相同｝,3二｛不含数字2和7｝,O｛数字6恰好出现2次｝,基本事件总数n=104=10000；事件A所包含的基本事件数加人二耳二5042;事件B所包含的基本事件数伽二8仁40
6、96;事件C所包含的基本事件数％二Cj尺二54故P(A)二如二竺亠二0.50;P(B)二皿二凹竺二0.41;c49n10000n10000P(C)=生二Vo.005.n10000(2)不放回抽样不放回抽样是抽取一件后不放回.例1一批产品共有N件,其中M件事是不合格品，件是合格的，从中随机抽取〃件，试求事件俎=“取岀的〃件产品中有M件不合格品”的概率.解先计算样本空间Q中样本点的总数:从W件产品中任取〃，因为不讲次(N、(N、序，所以样本点的总数为•又因为是随机抽取的，所以这个样本点是等可能的•因为事件4广“取岀的〃件产品中有0件不合格”，故人的概率为:P(4,)事件£二“
7、取岀的n件产品中有1件不合格”，故£的概率为:'mNn-ms777n—tn以此推出：P(A”)二厂亍j，加=0,1,2…，厂，r=min{n,M}.1.盒子模型例1设有〃个球，每个球都等可能地被放到N个不同盒子中的任意一个,每个盒子所放球数不限•试求：(1)指定的〃(WN)个盒子中各有一球的概率门;(2)恰好有〃(WN)个盒子中各有一球的概率血；解因为每个球都可能放到N个盒子中的任何一个，所以〃个球放的方式共有N"种,它们是等可能的.(1)根据乘法原则，于是其概率门-1(2)与(1)的差别在于：此〃个盒子可以在NN个盒子中任意选取，故,P八M.-NnNN-nl)例2(生
8、日问题)d个人的生日全不相同的概率几是多少？解把〃个人看成是〃个球，将一年365天看成是N二365个盒子，则“〃个人的生日全不相同”就相当于“恰好有〃个盒子各有一个球，”所以〃个人的生日全不相同的概率为Pn=—————=(1_--)(1_-—)365"(365—对！365365365}由于计算是很繁琐的，故可作近似计算：当碌、时，…竺"十第•当〃较人吋,Pn_1+2+…+(〃一1)__n{n-1)~365730我们可以将盒子模型应用到很多实际问题中，女山将球解释为“粒子”、将盒子解释为相空间中的小“区域”，则这个问题便是统计物
