第2章正态分布时的统计决策

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1、2.8正态分布时的统计决策在统计决策理论中，涉及到类条件概率密度函数P(xlwz)o对许多实际的数据集，匸态分布通常是合理的近似。如果在特征空间屮的某一类样木，较多地分布在这一类均值附近，远离均值点的样木比较少，此吋用正态分布作为这•类的概率模型是合理的。另外，正态分布概率模型有许多好的性质，有利于作数7分析。概括起来就是：(1)物理上的合理性；(2)数学上的简单性下面重点讨论正态分布分布及其性质，以及正态分布下的Bayes决策理论。2.8.1正态分布概率密度函数的定义及性质1.单变量正态分布定义：p(x)=-yL-exp[—1(^^)2](3.1-1)

2、Q2兀o2a其小：“为随机变最X的期望，也就是'卜均值；"2为x的方差，/为均方差，乂称为标准差。(3.1-2)/J=E(x)=「x-p(x)dxJ—OO(T2=£°(X-//)2-p(x)dx(3.1-3)概率密度函数的一般图形如卜‘:一维柢率密度函数p{x)具有一下性质:/?(%)>0,(一8

3、CT來表示，＜7越大分散程度越大。2.多元正态分布定义:77exp[-扣-“)7工T(兀-“)]2龙)/2

4、工

5、/2(3.1-5)其中:x=[“，卩，……M]?为d维随机向虽，对于d维随机向量x,它的均值向量“是d维的。也就是:“=[〃1，〃2,……，“dF为d维均值向量。工是dxd维协方差矩阵,工T是为的逆矩阵，1工1为£的行列式。协方差矩阵》是对称的,其屮冇dx(d+l)/2个独立元素。由于卩(兀)可由“和工完全确定，所以实际上。⑴可由d+dx(d+l)/2个独立元素来确定。(兀一“卩是(兀一“)的转置，几//=£{x}{(兀一“)(无一〃)丁}“、

6、工分别是向量X和矩阵(x—“)(x—“r的期望。具体说：若兀是兀的第i个分量，M是“的第i个分最，込,是工的第二j个元素。(3.1-6)〃/•=E[Xj]=J%/p{x)dx=£°XjP(Xi)dxj其小卩(习)为边缘分布，p(xj=p-[°°p(x)dx、dx2・・・dxdJ—ooJ—oo“对于二维随机变量X和Y作为一个整休，其分布函数F(x,y),而X和Y都是随机变量，各别也冇分布函数Fx(x)、FY(y),分别称为二维随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数。冇：Fx(兀)=尸(兀,+8)和Fy(y)=F什8,y)o对于离散随机变量冇：OO8Fx

7、(x)=F(x,+oo)=工工/切从中得到X的分布律为：P{X=兀J=工內^

8、悄况，也就是ill所冇的了式都大J-0o即lofiino,2202^22>0,同单变量正态分布一样，多元止态分布p（x）nJ以由“和工完全确定，常记为N（“,》）。3・多元正态分布的性质（1）参数对分布的决定性对于d维随机向量x,它的均值向量〃也是d维的,协方差矩阵是对称的,其中有d（d+l）/2个独立元素。p（兀）可由“和工完全确定，实际上°（兀）对由d+d（d+1）/2个独立元素决定。常记为：p（x）〜N（“工）。（2）等密度点的轨迹为一超椭球面由p（x）的定义公式（3.1-5）可知，当右边指数项为常数时，密度°（兀）的值不变，所以等密度点满足：（x

9、-/z）rZ"1（%-//）=常数可以证明，上式的解是一个超椭球而，其主轴方向取决于工的木征向量（特征向量），主轴的长度与相应的本征值成正比。如下图所示：O）O=2｝；（b）等密度点轨迹亠.从上图可以看出，从正态分布总体屮抽取的样本人部分落在市〃和工所确定的•个区域里，这个区域的中心由均值向量“决定，区域的人小由协方泾矩阵决定。在数理统计中，令：y2=（x-//）r式中卩称为x到“的马氏距离（Mahakmobis）距离。所以，等密度点轨迹是x到“的马氏距离卩为常数的超椭球面。该超椭球血构成的球体的大小是样木对于均值向最的“离散度度最”。体积：v=rj-l

10、El2-ydddd为偶数d为奇数j_丄如果d确定了，则I/”不变，v±JI》

11、