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1、基础矩阵及其求法同一三维场景在两个不同视点处得到的两幅二维图像之间的儿何关系——极儿何以及极儿何的代数表示——基础矩阵。两幅图像可以是由两个摄像机在不同位置同时采集的，也町以是同一摄像机顺序采集的，例如摄像机相对场景移动。对于这两种情况，几何上认为是和等的。i般地，同一世界坐标系下的同i物体的图像间存在一种几何上的对极约束关系。在立体视觉中，可以利用图像点的匹配來恢复这种儿何关系，反过來，也可以利用这种儿何关系來约束匹配，使得对应点的搜索范围由二维平面降低到对应一维极线，使得匹配的鲁棒性、精度都得到很人提高。对极儿何关系在数学上可以用基础矩阵F來表示，因此
2、，对极儿何问题就转化为对基础矩阵F的估计问题。精确地计算F对于标定、寻找精确匹配和三维重建都有重要意义。2.1基础矩阵假设在一个立休视觉系统中，有两个摄像机，如图2」所示，设C和C，分别为两个摄像机的光心，两个摄像机获得的图像分别为I和I',M为三维空间中任意一点，m和m，是点M在两个图像上的像点(投影点)，称m和为一对对应点。连接光心C和C，的直线称为基线。空间点M和两个光心C和C，共面,设它们所在的平面为兀，该面称为极平面。极平面与图像平面的交线1和称为极线。因为m(nV)也同时在平血兀和像平面I(D±o从这里可以看出，寻找m(nV)的对应点m(nV)
3、时，不必在I(D整幅图像中寻找，只需在m(nV)在I(D的极线上寻找即可。这就提供了一个重要的极线约束，将对应点的搜索空间从二维降到了一维。当三维空间点M移动时，产生的对所冇极线都穿过极点c(c)极点是极线与图像平面的交点。2.1.1参考坐标系为了描述基础愆阵，首先需要定义四个参考他标系：图像处标系、成像平面处标系、摄像机坐标系和世界坐标系。摄像机采集的数字图像在计算机内可以存储为数纟R,数纟R屮的每一个元素(称为像素，pixel)的值即是图像点的亮度。在图像上定义直角坐标系u-v,那么(u,v)是以像索为单位的图像坐标系坐标，如图2.2所示。q(如讥)V
4、*图2.2图像坐标系和成像平面坐标系图像处标系表示像索位于数字图像小的列数和行数，而成像朋标系用物理单位(例如毫米)表示出该像素在图像中的物理位置。如图2.2所示，在x-y坐标系中，原点O定义在摄像机光轴和图像平面的交点处，称为图像的主点(principalpoint),该点一般位于图像中心处。若。在mv坐标系中的坐标为(U。,％),每个像索在x轴和y轴方向上的物理尺寸为dx,dy，则两个处标系的关系如下：u~l/dx0XV—0Mdyvoy(2.1)1_0011摄像机成像几何关系可由图2.3表示，其屮C点称为摄像机光心，Xc轴和Yc轴与成像平面坐标系的X轴
5、和Y轴平行，Zc轴与成像平面垂直，称为摄像机的光轴。光轴与成像平面的交点为图像主点G，由点C与Xc,Yc,Zc轴组成的直角朋标系称为摄像机坐标系。CC］为摄像机焦距。我们用世界坐标系来描述真实世界坏境中摄像机和物体的位置。摄像机坐标系和世界坐标系之间的关系可用旋转矩阵R与平移向聚t来描述。由此，空间点M在世界坐标系和摄像机处标系卜•的齐次处标(Xw，丫w,Zw,l)丁与(Xc,Yc,Zc,l)T存在如式(2.2)的关系，其中R是3X3旋转矩阵，t是3维平移向量，0=(0A0)t,P是两个坐标系Z间的变换矩阵。(2.2)2.1.2摄像机模型2.1.3基础矩阵
6、基础矩阵是对极几何的代数表示。设两个摄像机的投影矩阵分别为片和£。则两个摄像机的投影方程如下：Z(.m=P}M=[PiAPlB]Ma®Zc.m'=P2M=[P2AP2B]^(2.7)其小，M为三维空间点M在世界处标系下的齐次处标：m、M分别是投影点m、M在图像处标系下的齐次处标；将投影矩阵Pi和P2中左面的3X3部分记为匚和右边的3X1部分记为%和P2Bo如果将M=(Xw,Yw,ZwA)t记为M，其中M=(Xw,Yw,ZwA)tf则式(2.6)、(2.7)可展开为Zcm=PlAMP]B(2.8)Zc.m'=P2aM+P2Ii(2.9)将上式消去M得Zc,m
7、t—ZcP2APiAm=P2B—P2aP[aPb(2.10)定义2.1如果t为三维向量，r=(///),称卜•列矩阵为由t定义的反对称矩阵,记为Ho_07t、「Hz=ts0—Glx°_令p等于式(2.10)右端的向量，即P^P^-PzaP'J'P'b(2.H)用[p]x左乘式(2.10)两边，则由[p]xp=0可得[p]x(Zc,m-ZcP2APlA~'m)=0(2.12)将式(2.12)两边除以Zc.,并令Z二Zc/Zc，得[plZP2AP2A~lfn=[pm，<2.13)式(2.13)右边向量为[p]xm'=pxm'fnJ见该向量A/mII：交，将
8、加"左乘上式两边，并将所得两边除以Z后得到下式："严[川4討厂加=
