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1、们同意前人的提法，认为线性泛函与无穷维空间上引进坐标的思想有关，而对偶理论则有如无穷维线性空间上的解析几何学。Chp.l距离线性空间SS1.选择公理，良序定理，佐恩引理有序集的定义：（1）若a在b之先，则b便不在a之先。（2）若a在b之先，b在c之先，则a在c之先。这种先后关系记作隹Yb良序集：A的任何非空了集C都必有一个属于C的最先元素。良序集的超限归纳法：（1）Hg）为真，这里低是A中故先的元索。2）p®/）对-•切瓯gy。v戲为真，则Hrt亦真那么尸（°）对一切优wA皆真。选择公理设N={N}是一个菲空集合构成的族，则必存在定义在N上的函数f,使得对--切ATE'：都有€N
2、部分有序称元索族X是部分冇用的，如果在其中某些元索对（a,b）上冇二元关系红Vb，它据冇性质：off❷Y瓦andbV血@=工Zfa-<&andbVthen@Ya例如x中包换关系在部分有序集下，有上界、极大元和完全有序其中完全有序的c：CCX,ifVinCoexists*V酬个V乱例如在复数域屮，按大小关系定义两个复数的关系，则复平面是部分冇序的，实轴、虚轴是完全冇序的。佐恩引理设x非空的部分有序集，如果x的任何完全有序子集都有一个上界在x中，则x必含有极大元。从现代观点来看，泛函分析研究的主要是研究实数域或者复数域上的完备賦范线性空间。SS2.线性空间，哈迈尔（Hamel）基线性空
3、间的定义：加法交换、加法结A、有零元，有负元、有单位元等。线性流形：线性空间中的非空子集，如果它加法封闭、数乘封闭。线性流形的和M+N：所有形如m+n的元素的集合，其中m£M,n£N。线性流形的直和：如果MAN={0},则以耐巒西代替M+N如果X=A/(ft/V•则称M与N是代数互补的线性流形。于是有下述定理：定理2.1设M,N是线性空间X的线性流形，则X=W当J1仅当对每个xex都有唯一的表达式x=m+n,m丘M,n丘N・定理2.2若X=N则dimX=dimM+dimNHamel基的定义：设X是具有非零元的线性宇间，X的子集H称为X的Hamel基，如果(1)H是线性无关的。(2)
4、H张成的线性流形是整个空间。则有Hamel基和线性无关了集的关系：定理2.3设X是线性空间，S是X中任意的线性无关子集，则存在X的一个Hamel基使得5CH推论任何非零线性空间必冇Hamel基由定理2.3,可有定理2.4设M是线性空间X的线性流形，则必有线性流形CX使得X=鉅田/V.即N是M的代数补。SS3距离空间(度量空间)，距离线性空间定义了距离(满足正定性、对称性和三角不等式的映射)d(x,y)的空间即为距离空间，记为按距离收敛：设距离空间中的点列{工*}霊1使得卫^曲珀#)=°(曲SW』)T°］则称&3篇对细.，.)收敛到x,简记为:->□?距离线性空间
5、：设赋冇距离d(y)的线性空间X满足(1)->O?d(㈱』)一>0=*d(af»+y»tar+y)->0(2)咸珀严)T0,gTO=*西彌*厨T0距离线性空间的例了例1有界序列空间(m)设X代农所冇冇界数列HN{§1疋补…}的集合，设*={Sj}fV=tw}€X眾义加法和数乘：a?+i#={&+«；LQ=f琥4因斗讪=siipfe一咄以及距离：则它是一个线性距离空间例2收敛序列空间(c)元素、加法、数乘和距离定义同上，序列有极限。例3本质有界可测函数空间6)定义加法和数乘:(x+y)(t)=x(t)+y(t),(ax)(t)=ax(t)以及距离:d(x,y)=essup
6、x(t)-
7、y(t)
8、例4所有序列空间(s)元素、加法和数乘定义同例I,距离例5空间卩(1签P<8)设X代表满足条件£
9、&严V8的所有数列的集合，加法和数乘同例1，距离为/他誉)=(E
10、中，球、开集、邻域、闭集、内点、内部的概念同拓扑。其屮，极限点的概念相当于拓扑学屮的聚点,连续函数的沁义和拓扑也是-•致的。稠密：设是距离空间，S包含于X称为稠密的，如果任给c＞Gf¥a:€仏Mo€s.t曲？■却)＜；s空间X称为可分的，如果X内有一个可数的稠密集。例5、所有序列空间(s)是可分的；有界序列空间(m),例3是可分的。SS5完备距离空间
11、完备性：称＜X,d＞是完备的，若对任总的柯西序列都收敛。例C[0.1]:所有复值连续函数的集合，是完备的。定义与例3相同的加法和数乘，定义距离d(x,y)-max
12、x(t)-y(t)
13、,贝怕是线性距离空间，称为连续函数空间完备化：对距离空间＜x,d＞,若冇完备的距离空间vX/A使x等距于文.ar即有T；兀r益&九曲耳讪=也“€XJLT(x)是戈屮的稠密子集,则X为x的完备化。进一步，有定理定理5.1任何距离空间都存在完备化SS6列紧性列紧：＜X,d＞中集合何是列紧的，
