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1、9.2 随机数与几何概型1.如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.2.在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)考点直接求测度（求长度，面积或体积）计算几何概型1方法点拨：正确求出构成事件A的区域和试验全部结果所构成的区域的测度（长度，面积或体积），是几何概型的关键.自学范例1①取一根长为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，求剪得两段的长都不小于1m的概率.②取一个边长为2a的正方形及其内切圆，如
2、右图，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.③在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10毫升,则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？分析线段、平面图形和立体图形的相应测度分别是长度,面积和体积.在处理几何概型的问题时,要注意对基本事件等可能性的判断.解析①如右图所示，记“剪得两段绳子都不小于1m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段的绳时,事件A发生,由于中间一段的长度等于绳长的，所以事件A发生的概率为②记“豆子落入圆内”为事件A.则③记“取出10毫升种子，其中含有麦锈病种子”为事件A，则,故所求概率为0.0
3、1.【点评】“几何概型”的难点在于怎样把随机事件的总体和随机事件A都转化为与之对应的区域的测度.名师点题1①一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m,宽为20m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.解：如图区域表示长30m，宽20m的长方形，记“海豚嘴尖离岸边不超过2m”为事件A。则AB323112②如下图所示，有两个独立的转盘A、B，两个图中三个扇形区域的圆心角分别为，用这两个转盘玩游戏，规则是：依次随机转动两个转盘再随机停下（指针固定不会动，当指针恰好落在分界线时，则这次结果无效，重新开始），记转盘A指针对的数为x,转盘B指针对的数为y,求且的概率.
4、典例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.（假定电台是整点报时）.解析：设“等待的时间不多于10分钟”为事件A，我们所关心的事件恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的概率公式可得即“等待的时间不多于10分钟”的概率为拓展变式1两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率.考点借助解析几何，找出平面区域计算几何概型2自学范例2甲、乙两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时即离去，试求这两人能见面的概率.分析引入变量x,y，将
5、实际问题满足的代数条件转化为试验全部结果所构成的几何区域和事件A的结果构成的几何区域.在平面直角坐标系中画出图形,再求出需要的面积即可.解析这是一个含有无限多个“等可能”的基本事件的概率模型，可以用几何概型来计算其概率.以x、y分别表示两人到达时刻，则会面的充要条件为【点评】将实际问题转化为几何概型的问题，要先选取适当的变量x,y，根据题意写出必须满足的代数条件，再转化用图形表示.解析可能的结果的全体是边长为60的正方形里的点（如下图）,o204020604060能会面的区域用阴影标出,故所求概率：拓展变式2甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它
6、们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.（1）如果甲船和乙船的停泊时间都是4h，求它们中的任何一艘船不需要等待码头空出的概率；（2）如果甲船的停泊时间为4h，乙船的停泊时间为2h，求它们中的任何一艘船不需要等待码头空出的概率.考点几何概型与古典概型3方法点拨：在计算概率时应先根据实际问题的特征考虑概率类型是古典概型还是几何概型.自学范例3设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.（1）若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若a是从区间［0,3］任取的一个数，b是从区间［0，2］任取的一
7、个数，求上述方程有实根的概率.分析问题（1）中基本事件的个数是有限多个，问题（2）中基本事件的个数是无限多个，但问题（1）和问题（2）中基本事件发生的可能性都是相等的.所以问题（1）是古典概型，问题（2）是几何概型.解析设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”.当a＞0,b＞0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b.（1）基本事件共12个：(0，0),(0，1),（0，2）,（1，0）,（1，1）,（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0）（3，1），（3，2）.其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值.事件A中包
8、含9个基本事件，事件A发生的概率为【点评】要正确判断
