《综合法与反证法》PPT课件

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1、2.4.3综合法与反证法例5如图2-8，平行四边形ABCD的两条对角线的交点为O，过点O作一条直线分别与边AB，DC交于点E，F.OE=OF吗？你能给出证明吗？动脑筋OE=OF.图2-8证明:∵AB∥DC，(平行四边形的定义)图2-8∴∠1=∠2.(两直线平行，内错角相等)在△OAE与△OCF中，∵∠1=∠2，∠3=∠4，(对顶角相等)OA=OC，(平行四边形的对角线互相平分)∴△OAE≌△OCF.(角边角)从而OE=OF.(全等三角形的对应边相等)做一做你能利用“平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心”这条性质，来证明上题结论OE=OF吗？图2-8

2、举例例6已知：如图2-9，在△ABC中，边AB，BC，AC的中点分别为D，E，F，连接DF，FE.图2-9求证：（1）四边形BEFD是平行四边形；（2）四边形BEFD的周长等于AB+BC.图2-9（1）四边形BEFD是平行四边形；证明:∵DF是△ABC的一条中位线，∴DF∥BC，DF=BC.(三角形中位线定理)同理FE∥AB，FE=AB．因此四边形BEFD是平行四边形.(平行四边形的定义)（2）四边形BEFD的周长等于AB+BC.证明:由于平行四边形的对边相等，因此四边形BEFD的周长等于做一做已知：如图2-10，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC的

3、中点，连接DE，AF．求证：AF与DE互相平分．图2-10证明:连接，∵，∴.()同理.因此四边形是.()从而.()DF，EFE，F分别为AC，BC的中点EF∥AB中位线定理DF∥ACADFE平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形DE与AF互相平分平行四边形两对角线互相平分图2-10结论由此我们可以得到下面的结论：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.练习1.证明：平行四边形的两条对角线的交点到一组对边的距离相等．已知：平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O，EF过O，且EF⊥AB于E，EF⊥CD于F.求证：OE=OF.证明：在△OCF和△OA

4、E中，∠1=∠2，∠4=∠3，AO=OC，△OCF≌△OAE.OE=OF.2.证明：四个角都相等的四边形是矩形.提示:利用四边形的内角和为360°，证每一个角为90°.因为每个角都为直角的四边形是矩形.说一说等腰梯形在同一底上的两个角有什么关系？相等.举例例5证明：等腰梯形上底的中点与下底两端点的距离相等．已知：如图2-11，在等腰梯形ABCD中，上底DC的中点为E，连接EA，EB．求证：EA=EB．证明:在△ADE与△BCE中，图2-11∵AD=BC，(等腰梯形的定义)DE=CE，(已知)∠D=∠C，(等腰梯形在同一底上的两个角相等)∴△ADE≌△BCE.(边角

5、边)从而EA=EB.(全等三角形的对应边相等)做一做剪一个三角形纸片，用折叠的方法找出每一条边的垂直平分线，从三条折痕看出，它们是否相交于一点？由此你能作出什么猜测？你能证明这个猜测为真吗？证明思路是：去证三角形两条边的垂直平分线的交点在第三条边的垂直平分线上.举例例6已知：如图2-12，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点O．求证：点O在边AC的垂直平分线上．证明连接OA，OB，OC．∵点O在线段AB的垂直平分线上，∴OA=OB.(垂直平分线的性质定理)同理OC=OB.因此OA=OC.(等量代换)从而点O在线段AC的垂直平分线上.(到线段两端距离相等的

6、点，在这条线段的垂直平分线上)图2-12结论从例6立即得到:三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．举例例7证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角不互补，那么这两条直线必相交.已知：如图2-13，直线AB，CD被直线MN所截，同旁内角∠1和∠2不互补.求证：直线AB与CD相交.图2-13证明假如直线AB与CD不相交，图2-13则它们没有公共点，从而AB∥CD.于是∠1与∠2互补(两直线平行，同旁内角互补).这与已知条件矛盾.因此直线AB与CD相交.结论像例7那样，先假设命题的结论不成立，然后经过推理，得出了矛盾的结果，从而证明命题

7、的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.练习1.已知：在△ABC中，∠A与∠B的平分线相交于点O.求证：点O在∠C的平分线上.证明:过O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F.∵O在∠A的平分线上，∴OD=OE.同理OE=OF，OD=OF，∴O在∠C的平分线上.2.从第1题中，你能得出什么结论呢？答：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.1.已知：在△ABC中，∠A与∠B的平分线相交于点O.求证：点O在∠C的平分线上.3.证明：两条直线被第三条直线所截，如果同位角不相等，那么这两条直线必相交．已知：AB，CD被直线MN所截，同位角∠

8、1，∠2不