2018高中数学 第2章 推理与证明 第2节 直接证明与间接证明学案 理 苏教版选修2-2

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1、第2节直接证明与间接证明一、学习目标：1.了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。2.了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。二、重点、难点重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点。难点：运用分析法、综合法提高分析问题和解决问题的能力。三、考点分析：对两种直接证明方法的考查在选择题、填空题和解答题中都有出现，单纯的考查并不常见，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出。它可以和很多知识，如函数、数列、三角函数、导数等相联系，证明时不仅要用到不等式

2、的相关知识，还要用到其他数学知识、技能和技巧，而且还考查了运算能力，分析问题和解决问题的能力。对于反证法很少单独命题，但是运用反证法分析问题、进行证题思路的判断则经常用到，有独到之处。三种证明方法的定义与步骤：1.综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。2.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的

3、证明方法。3.假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法。用这种方法证明一个命题的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；（2）根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止；（3）断言假设不成立；（4）肯定原命题的结论成立。知识点一：综合法例1对于定义域为的函数，如果同时满足以下三个条件：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数。（1）若函数为理想函数，求的值；（2）判断函数（）是否为理想函数，并予以证明。思路分析：（1

4、）取可得。由此可求出f（0）的值。（2）在[0，1]满足条件①；也满足条件②。若，，，满足条件③，收此知故g（x）理想函数。解题过程：（1）取可得。又由条件①，故。（2）显然在[0，1]满足条件①；也满足条件②。若，，，则，即满足条件③，故为理想函数。解题后反思：要证明函数（）满足三个条件，得紧扣定义，逐个验证。知识点二：分析法例2△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，求证：思路分析：本题的关键是将等价转换，以及三个内角A、B、C成等差数列的应用。解题过程：证明：要证，需证。即证。需证，需证∵△ABC三个内角A、B、C成

5、等差数列。∴B＝60°。由余弦定理，有，即。∴成立，命题得证。解题后反思：注意分析法的书写“格式”是“要证……只需证……”，而不是“因为……所以……”知识点三：反证法例3已知，，求证：不能同时大于。思路分析：求证：不能同时大于，可用反证法假设可以同时大于，让三个等式左边右边分别相乘得到，根据可以判断错误，故假设不成立，即得证。解题过程：证法一：假设三式同时大于，即，，，三式同向相乘得，又，同理，，这与假设矛盾，故原命题得证。证法二：假设三式同时大于，，同理三式相加得，这是矛盾的，故假设错误，所以原命题得证。解题后反思：“不

6、能同时大于”包含多种情形，不易直接证明，可用反证法证明。即正难则反：（1）当遇到否定性、唯一性、无限性、至多、至少等类型问题时，常用反证法。（2）用反证法的步骤是：①否定结论；②而不合理；③因此结论不能否定，原结论成立。反证法属于“间接证明法”，是从反面角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理。反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结

7、论，从而使命题获得了证明。知识点四：综合法、分析法综合应用例4设，，为正实数，求证：。思路分析：由想到可应用不等式。解题过程：因为为正实数，由平均不等式可得，即，所以，而，所以。解题后反思：综合法是从已知到未知的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或从已证的命题出发，经过一系列的推理，最后导出要证的结论。证明不等式常用的性质有，等，但应用这些不等式证明时，要注意不等式应用的范围和“”取得的充要条件。例5如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于、两点。（1）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（2）若为锐角，作

8、线段的垂直平分线交轴于点，证明为定值，并求此定值。思路分析：使用常规思路，即可以采用综合法解决问题。解题过程：（1）抛物线的标准方程为，则焦点的坐标为（2，0），准线l的方程为。（2）证明：如图，作，，垂足为、，则由抛物线的定义知，，记、的横坐标分别为，，则解得类似地，解得。记直线与的交点为，则，所以。