2019年高中数学 3.3平面与圆锥面的截线同步检测试题 新人教A版选修4-1

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1、2019年高中数学3.3平面与圆锥面的截线同步检测试题新人教A版选修4-1►一层练习1．平面π与圆锥的母线平行，那么它们交线的离心率是(　　)A．1　　　　　　　　B．2C.D．无法确定答：A2．圆锥的顶角为60°，截面与母线所成的角为60°，则截面所截得的截线是(　　)A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答：A3．用一个平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则会出现四种情况：______、______、________和________．答：圆、椭圆、抛物线、双曲线►二层练习4．用一个过圆锥面顶点的平面去截圆锥面，则截线为(　　)A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．两条相

2、交直线答：D5．一圆锥面的母线和轴线成30°角，当用一与轴线成30°的不过顶点的平面去截圆锥面时，则所截得的截线是(　　)A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．两条相交直线答：C6．一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴长为8，长轴的两端点到顶点的距离分别是6和10，则椭圆的离心率为________．答：7．已知一圆锥面S的轴线为Sx，轴线与母线的夹角为30°，在轴上取一点O，使SO＝3cm，球O与这个锥面相切，求球O的半径和切圆的半径．解析：如下图所示，OH＝SO＝cm，HC＝OHsin60°＝×＝cm.所以球O的半径为cm，切点圆的半径为cm.►三层练习8．已知AD是等边△ABC上的

3、高，直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为β，当l与AB(或AB的延长线)、AC都相交时，β的取值范围是________．答：9．已知圆锥面S，其母线与轴线所成的角为30°，在轴线上取一点C，使SC＝5，通过点C作一截面δ使它与轴线所成的角为45°，截出的圆锥曲线是什么样的图形？求它的离心率及圆锥曲线上任一点到两个焦点的距离之和．解析：由题可知，截出的圆锥曲线是椭圆．e＝＝＝.设圆锥曲线上任意一点为M，其两焦点分别为点F1、F2，MF1＋MF2＝AB.设圆锥面内切球O1的半径为R1，内切球O2的半径为R2.∵SO1＝2R1，CO1＝R1，∴SC＝(2＋)R1＝5，即R1＝.∵S

4、O2＝2R2，CO2＝R2，∴SC＝(2－)R2＝5，即R2＝.∵O1O2＝CO1＋CO2＝(R1＋R2)＝10，∴AB＝O1O2cos30°＝O1O2·＝5，即MF1＋MF2＝5.10．如图，A1A2＝2a，F1F2＝2c，求证：e＝＝.证明：连接O1O2、O1F1、O2F2、O1Q1、O2Q2.∵直线F1F2与Dandelin双球相切，∴O1F1⊥F1F2，O2F2⊥F1F2.过O1作O1H⊥O2F2于H，则四边形O1HF2F1是矩形，∴O1H＝F1F2＝2c.设平面π与圆锥的轴的夹角为β，∴O1O2＝＝.①由双曲线的定义，知双曲线上任意一点到F1、F2的距离之差为定值Q1Q

5、2，故取如图位置．由切线长定理，A2Q1＝A2F1＝A1F2.∴F1F2－A2F1＝F1F2－A1F2.∴A2F2＝A1F1.又A2Q2＝A2F2.∴Q1Q2＝A2Q1－A2Q2＝A2F1－A1F1＝A1A2＝2a.设母线与轴夹角为α，即∠O2OQ2＝α，∴O1O2＝O1O＋OO2＝＋＝＝＝.②由①②，得＝.∴＝＝e.11．如图，已知平面π与圆锥的轴的夹角为β，圆锥母线与轴的夹角为α，α＝β，求证：平面π与圆锥的交线为抛物线．证明：当β＝α时，平面与圆锥的一部分相交，且曲线不闭合．在圆锥内嵌入一个Dandelin球与圆锥交线为圆S.记圆S所在平面为π′，π与π′的交线记为m.球切

6、π于F1点．在截口上任取一点P，过P作PA⊥m于A，过P作PB⊥平面π′于B，过P作圆锥的母线交平面π′于C，连接AB、PF1、BC.由切线长定理，PF1＝PC.∵PB平行于圆锥的轴，∴∠APB＝β，∠BPC＝α.在Rt△ABP中，PA＝，在Rt△BCP中，PC＝.∵α＝β，∴PC＝PA.∴PF1＝PA.即截口上任一点到定点F和到定直线m的距离相等．∴截口曲线为抛物线．12．已知圆锥面S，母线与轴线所成的角为45°，在轴线上取一点C，使SC＝5，过点C作一平面与轴线的夹角等于30°，所截得的曲线是什么样的图形？求两个焦球的半径．解析：所截得的曲线是双曲线．设焦球O的半径为R.∵S

7、O＝R，OC＝2R，∴SC＝(2＋)R＝5，即R＝＝.设另焦球O′的半径为R′，则OO′＝＝(R＋R′)，又截面与轴线的夹角为30°，∴R′－R＝OO′＝(R＋R′)，∴R′＝(3＋2)R＝.