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1、第十三章达朗贝尔原理达朗贝尔原理刚体惯性力系的简化前面介绍的动力学普遍定理,为解决质点系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗贝尔原理为解决非自由质点系动力学问题提供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是：用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题,因此这种方法又叫动静法。由于静力学研究平衡问题的方法比较简单,也容易掌握,因此动静法在工程中被广泛使用。引言设一质点质量为m,加速度为a,作用于质点的主动力为F,约束反力为FN。由牛顿第二定律，有将上式改写成令13.1质点的达朗贝尔原理FI具有力的量纲,且与质点的质量有关，称其为质点的惯性力。它的
2、大小等于质点的质量与加速度的乘积,方向与质点加速度的方向相反。FImFFNa即：在质点运动的任一瞬时,作用于质点上的主动力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。则有应该强调指出，质点并非处于平衡状态，这样做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。达朗贝尔原理与虚位移原理构成了分析力学的基础。13.1质点的达朗贝尔原理例1球磨机的滚筒以匀角速度w绕水平轴O转动,内装钢球和需要粉碎的物料,钢球被筒壁带到一定高度脱离筒壁,然后沿抛物线轨迹自由落下,从而击碎物料,如图。设滚筒内壁半径为r,试求钢球的脱离角a。
3、解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象,受力如图。钢球未脱离筒壁前,作圆周运动,其加速度为惯性力FI的大小为假想地加上惯性力,由达朗贝尔原理OMrwaqFFNmgFI这就是钢球在任一位置q时所受的法向反力,显然当钢球脱离筒壁时,FN＝0,由此可求出其脱离角a为设质点系由n个质点组成,其中任一质点i的质量为mi,其加速度为ai,把作用在此质点上的力分为主动力的合力Fi、约束力的合力为FNi，对这个质点上假想地加上它的惯性力FIi＝-miai,则由质点的达朗贝尔原理,有13.2质点系的达朗贝尔原理即：质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和它的惯性力
4、在形式上组成平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。把作用在第i个质点上的所有力分为外力的合力为Fi(e),内力的合力为Fi(i)，则有13.2质点系的达朗贝尔原理质点系中第i个质点上作用的外力、内力和它的惯性力在形式上组成平衡力系。由静力学知，空间任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即因为质点系的内力总是成对出现,且等值、反向、共线,因此有ΣFi(i)=0和ΣMO(Fi(i))=0,于是的有即：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。这是质点系达朗贝尔原理的又一表述。13.2质点系的达朗
5、贝尔原理称ΣFIi为惯性力系的主矢，ΣMO(FIi)为惯性力系的主矩。例2重P长l的等截面均质细杆AB,其A端铰接于铅直轴AC上,并以匀角速度w绕该轴转动,如图。求角速度w与角q的关系。解：以杆AB为研究对象,受力如图。杆AB匀速转动,杆上距A点x的微元段dx的加速度的大小为微元段的质量dm＝Pdx/gl。在该微元段虚加惯性力dFI,它的大小为xdxdFIanqwBACyxqBAxdPFAxFAyFI于是整个杆的惯性力的合力的大小为设力FI的作用点到点A的距离为d,由合力矩定理,有即假想地加上惯性力,由质点系的达朗贝尔原理qBAxdPFAxFAy
6、FI代入FI的数值,有故有q＝0或OxyFIidFTFTOR例3已知：m，R，。求：轮缘横截面的张力。解：取上半部分轮缘为研究对象用质点系的达朗贝尔原理求解质点系的动力学问题，需要对质点内每个质点加上各自的惯性力，这些惯性力也形成一个力系，称为惯性力系。下面用静力学力系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩。以FIR表示惯性力系的主矢。由质心运动定理及质点系的达朗贝尔原理13.3刚体惯性力系的简化得此式表明：无论刚体作什么运动,惯性力系的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积,方向与质心加速度的方向相反。13.3刚体惯性力系的简化由静力学中
7、任意力系简化理论知，主矢的大小和方向与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位置有关。下面就刚体平移、定轴转动和平面运动讨论惯性力系的简化结果。刚体平移时，刚体内任一质点i的加速度ai与质心的加速度aC相同，有ai＝aC，任选一点O为简化中心，主矩用MIO表示，有1.刚体作平移a11FI1aiiFIiCOrCaC1.刚体作平移13.3刚体惯性力系的简化式中，rC为质心C到简化中心O的矢径。若选质心C为简化中心，主矩以MIC表示，则rC＝0，有综上可得结论：平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力,其大小等于刚体的质量与加速度的乘积,合力的方向
8、与加速度方向相反。a11FI1aiiFIiCOrCaC2.刚体绕定轴转动如图所示,具有质量对称面且绕垂直于质量对称面的轴转动的刚体。其上
