第2讲相关性、最小二乘估计与统计案例

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1、第2讲相关性、最小二乘估计与统计案例一、选择题1．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为(　　)．A．－1B．0C.D．1答案　D2．已知x，y取值如下表：x014568y1.31.85.66.17.49.3从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且＝0.95x＋a，则a＝(　　)．A．1.30B．1.45C．1.65D．1.80解析　依题意得，

2、＝×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，＝×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25.又直线＝0.95x＋a必过样本中心点(，)，即点(4,5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a，由此解得a＝1.45，选B.答案　B3.设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是(　　)．A．直线l过点(，)B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的

3、样本点的个数一定相同解析　由样本的中心(，)落在回归直线上可知A正确；x和y的相关系数表示为x与y之间的线性相关程度，不表示直线l的斜率，故B错；x和y的相关系数应在－1到1之间，故C错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，即无论样本点个数是奇数还是偶数，故D错．答案　A4．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)．A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元

4、D．72.0万元解析　＝＝3.5(万元)，＝＝42(万元)，∴＝－＝42－9.4×3.5＝9.1，∴回归方程为＝9.4x＋9.1，∴当x＝6(万元)时，＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．答案　B5．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x/cm174176176176178儿子身高y/cm175175176177177则y对x的线性回归方程为(　　)．A．y＝x－1B．y＝x＋1C．y＝88＋xD．y＝176解析　由题意得＝＝176(cm)，＝＝176(cm)，由于(，)一定满足

5、线性回归方程，经验证知选C.答案　C6．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程＝x＋必过(，)；④在一个2×2列联表中，由计算得χ2＝13.079，则有99%以上的把握认为这两个变量间有关系．其中错误的个数是(　　)．A．0B．1C．2D．3解析　只有②错误，应该是y平均减少5个单位．答案　B二、填空题7．已知施化肥量x与水稻产量y的试验数据如下表，则变量x与变量y是________相关(填“正”或“负

6、”).施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455解析　因为散点图能直观地反映两个变量是否具有相关关系，所以画出散点图如图所示：通过观察图象可知变量x与变量y是正相关．答案　正8．考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x(cm)与肱骨长度y(cm)的线性回归方程为＝1.197x－3.660，由此估计，当股骨长度为50cm时，肱骨长度的估计值为________cm.解析　根据线性回归方程＝1.197x－3.660，将x＝50代入得y＝56.19，则肱骨长度的估计值为56.1

7、9cm.答案　56.199．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科男1310女720χ2＝≈4.844.则认为选修文科与性别有关系的可能性约为________．解析　∵χ2≈4.844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断正确的可能性约为95%.答案　95%10．某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线

8、性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.解析　由题意父亲身高xcm与儿子身高ycm对应关系如下表：x173170176y170176182则＝＝173，＝＝176，(xi－)(yi－)＝(173－173)×(170－176)＋(170－173)×(176－176)＋(176－173)(182－176)