（新课标）高考数学第二章函数、导数及其应用2_12导数的综合应用课时规范练文新人教A版

《（新课标）高考数学第二章函数、导数及其应用2_12导数的综合应用课时规范练文新人教A版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2-12导数的综合应用课时规范练A组　基础对点练1．已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx.(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围．解析：(1)F(x)＝ax2－2lnx，其定义域为(0，＋∞)，所以F′(x)＝2ax－＝(x>0)．①当a>0时，由ax2－1>0，得x>；由ax2－1<0，得00时，F(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．②当a≤0时，F′(x)<0(x>0)恒成立．故当

2、a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．(2)原式等价于方程a＝＝φ(x)在区间[，e]上有两个不等解．由φ′(x)＝易知，φ(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，则φ(x)max＝φ()＝，而φ(e)＝<φ(2)＝＝＝φ()，所以φ(x)min＝φ(e)，如图，可知φ(x)＝a有两个不等解时需≤a<，即f(x)＝g(x)在[，e]上有两个不等解时，a的取值范围为.2．已知函数f(x)＝x3－3x2＋ax＋2，曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为－2.(1)求a；(2)证

3、明：当k<1时，曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．解析：(1)f′(x)＝3x2－6x＋a，f′(0)＝a.曲线y＝f(x)在点(0,2)处的切线方程为y＝ax＋2.由题设得－＝－2，所以a＝1.(2)证明：由(1)知，f(x)＝x3－3x2＋x＋2.设g(x)＝f(x)－kx＋2＝x3－3x2＋(1－k)x＋4.由题设知1－k>0.当x≤0时，g′(x)＝3x2－6x＋1－k>0，g(x)单调递增，g(－1)＝k－1<0，g(0)＝4，所以g(x)＝0在(－∞，0]有唯一实根．当x>0时，令

4、h(x)＝x3－3x2＋4，则g(x)＝h(x)＋(1－k)x>h(x)．h′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，＋∞)单调递增，所以g(x)>h(x)≥h(2)＝0.所以g(x)＝0在(0，＋∞)没有实根．综上，g(x)＝0在R有唯一实根，即曲线y＝f(x)与直线y＝kx－2只有一个交点．3．已知函数f(x)＝(a＞0)．(1)若a＞，且曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线的斜率为－，求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当x＞1时，f(x)＞.解析：(1)

5、函数f(x)的导数为f′(x)＝，所以在点(2，f(2))处的切线的斜率为＝－，解得a＝＜(舍去)或a＝1，所以f(x)＝的导数为f′(x)＝.由f′(x)＞0，可得－1＜x＜1，由f′(x)＜0，可得x＞1或x＜－1.则函数f(x)的单调递增区间为(－1,1)，单调递减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．(2)证明：要证当x＞1时，f(x)＞(a＞0)，即证当x＞1时，＞(a＞0)，即当x＞1时，9＋lnx＜9x.令g(x)＝9＋lnx－9x(x>1)，g′(x)＝－9＜0，即g(x)在(1，＋∞)上单调

6、递减，则g(x)＜g(1)＝0，即当x＞1时，9＋lnx＜9x.故当x＞1时，f(x)＞.4．时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足的关系式为y＝＋4(x－6)2，其中2＜x＜6，m为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(精

7、确到0.1)解析：(1)因为x＝4时，y＝21，代入关系式y＝＋4(x－6)2，得＋16＝21，解得m＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y＝＋4(x－6)2，所以每日销售套题所获得的利润为f(x)＝(x－2)＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2＜x＜6)，从而f′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2＜x＜6)．令f′(x)＝0，得x＝，且在上，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；在上，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．所以x＝

8、是函数f(x)在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x＝≈3.3时，函数f(x)取得最大值．故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．B组　能力提升练1．设函数f(x)＝alnx＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范围．解析：(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b.由题设知f′(1)