线性代数题型分析

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1、《线性代数》某班学委的题型分析线性代数其实是一门很简单的课，和概率论差不多，而且它的主轴只有一个，那就是矩阵，一切都可以变成矩阵，然后经过初等变换再根据题冃进行不同的处理，这样说町能比较模糊，各位就从下面的题型屮慢慢领会吧。题型一：矩阵的简单性质矩阵有一些小性质需要我们记忆一下，这种题型主要是在选择题笫一题岀现的，貝-体是哪些性质我们就从题冃中了解就可以了，述算挺简单的一个点。下面列出一些年份选择题的第一题。（2014年一、1）例一：设A0是任意的/2阶方阵，下列命题中正确的是（）A・(4+B)2=a2+2ab+〃2C・(A—E)(A

2、+E)=(A+E)(A—E)D・(人^尸二才/（2013年一、1）例二：设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（A.AB=BAB.(A+B)-=屮+肘c.

3、a+b

4、=

5、a

6、+

7、bD.（力+3）卩二人丁+〃厂（2010年一、1）例三：设A,B均为舁阶方阵，则必有（）(A)

8、a+b

9、=

10、a

11、+

12、b(B)AB=BA（C）（A+B）-1=A-1+B'1（D）AB=BA理论上来说，这些题应该要秒杀掉，请记住下而的一些性质:(1)(2)ABHBAAE=EA(3)A4'1=E,

13、A4_1

14、=

15、E=1(4)(A+B)r=Ar4-Br(5)(A+B

16、)-'二右+A有了这五点其实就町以做题了，我们拿例一开刀。你看A、B、C,貌似都跟这四点没有关系，但其实是用到了（1）的，先看A,把（A+B）2像常数那样展开，（A+3）2=人2+炉+A3+BA,请看，AB和BA是不相等的，所以它们不能合并成2AB。再看B,也是像常数那样展开，（A+B）（A—B）=A'—BA+AB—S',AB和BA又是不相等，所以不能消去。然后是C,继续像常数那样展开，(A+E)(A-E)=A2-EA+AE-E2,你这时候就千万别说AE和EA是不一样的啦，看第(2)点，AE是等于EA,这口J以算是(1)的特例，你可以

17、理解为因为E是单位阵，所以可以随便变换白己的位置，如果不理解就记住就好了。所以A1-EA-}-AE-E2=A2AE-EA-E2=(A-E)(A+E)(题H只是换了一下位置就得出了C,如果C选项是“A2-E2”也是对的哦)。那么D为什么不选呢？很简单，因为它没有出现在这五点中，而且我们已经得到C是正确答案了。带着这样的思路，你可以去试试剩下的两道题。请注意，如果选项违背了这四点肯定就是错的了，但是有可能会出现不在这四点的选项，这些选项就不-•定错，可能先保留该选项再排除。题型二：秩、基础解系与矩阵列数的关系非常简单，因为记住一个公式就行

18、：设A为一个矩阵，那么A的秩+基础解系所含向量个数二A的列数这种题只出现在2014年和2012年，算是较小众但是容易掌握的题，来看看2014年的。(2014一、2)例六：设A是4x6矩阵，r(A)=29方程组AX二0的基础解系中所含向量的个数是()A.1B.2C.3D・4看，一下子就出来了，「(A)就是A的秩，6是A的列数，所以慕础解系所含向量个数为6-2=4o选D。至于什么是秩？什么是基础解系所含向量？我们后面再慢慢道来，这道题你要做的只是找到“秩”“基础解系所含向量”这些关键词然后代公式就行。题型三：行列式化简计算(2014年二、

19、9)例七：设均为斤阶方阵，且

20、4

21、=2,冈=一3,则=•又是记公式就可以的题型，主要出现在填空题，貌似冇一年老师脑了进水了屈然放到大题那里去了，那个时候你就欢呼吧。公式只有三个，都是很简单而且很好理解的：(1)

22、AB

23、=M

24、

25、B

26、(2)如果A为n阶方阵,贝i\AA=^A(3)=AI(你不用知道A*是什么，当它是一•个不同于A的矩阵就好)第一点笫二点没什么好说的，一般都是直接代数，而且都是从等号左边到等号右边的。需要讲一下的是笫三点，从第三点可以推导出一些公式，例如=(这个就是把A移过等号右边去而已)、

27、A-11=—(这个证

28、明略复杂,可以直接记住)、

29、&冃AL(这丨AI个可以从A*=^1^1推导出来，但是略复杂，可以总接记住，但要注意和^=4-*

30、A

31、区分开來)。0K,马上来看题。我把整道题的详细化简过程写出來你就明白了。111122n_,12才莎冃2A-1AB~1冃2A-12矿'冃4A~lB~［冃4”

32、

33、1=4"

34、”

35、

36、肘

37、=4”——=4^-(--)=_〒下面我对冇必要说明的等号进行解释。第一个等号,使用TA*=A-

38、

39、A

40、；第四个等号,使用TAB=A\B拆分了屮B“(A-'B-1木质上也是两个矩阵相乘)；第五个等号，使用了

41、/L4

42、=Z

43、

44、A

45、；第六个等号，使用了

46、人》

47、=丄把

48、A"

49、和

50、B"

51、都转换了。最终代数，得出结果。IA

52、为了让各位更熟悉这种题冃的思维走向，我们再来看一题。(2013年二、10)例八：设A为〃阶方阵，且A=2贝ij(--A)-