2019_2020学年高中数学第3章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率学案新人教A版必修2

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1、3.1.1　倾斜角与斜率学习目标核心素养1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．1.通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养．2.通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养.1．倾斜角的相关概念(1)两个前提：①直线l与x轴相交；②一个标准：取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角；③范围：0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.(2)作用：①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：

2、直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．思考：下图中标的倾斜角α对不对？[提示]　都不对．2．斜率的概念及斜率公式(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．(2)记法：k＝tanα．(3)斜率与倾斜角的对应关系．图示倾斜角(范围)α＝0°0°＜α＜90°α＝90°90°＜α＜180°斜率(范围)0(0，＋∞)不存在(－∞，0)(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝．思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？[提示]　不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°.1．如图所示，直线l与y轴的夹

3、角为45°，则l的倾斜角为(　　)A．45°B．135°　　　C．0°　　　D．无法计算B　[根据倾斜角的定义知，l的倾斜角为135°.]2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是(　　)A．0°B．45°C．60°D．90°A　[∵k＝＝0，∴θ＝0°.]3．已知经过两点(5，m)和(m，8)的直线的斜率等于1，则m的值是(　　)A．5B．8　C．D．7C　[由斜率公式可得＝1，解之得m＝.]4．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　)A．B．C．1D．A　[由题意可知，k＝tan30°＝.]直线的倾斜角【例1】　设直线l过坐

4、标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°D　[根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三

5、角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　)A．α　　　B．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－αD　[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.]直线的斜率【例2】　(1)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的

6、坐标为(　　)A．(2，0)或(0，－4)B．(2，0)或(0，－8)C．(2，0)D．(0，－8)(2)已知直线l经过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)A．(－1，0]B．[0，1]C．[1，2]D．[0，2](1)B　(2)D　[(1)设B(x，0)或(0，y)，∵kAB＝或kAB＝，∴＝4或＝4，∴x＝2，y＝－8，∴点B的坐标为(2，0)或(0，－8)．(2)由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.]解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝

7、tanα(α≠90°)解决．(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解．(3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．2．(1)已知过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y＝________．(2)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为________．(1)－5　(2)1　[(1)直线AB的斜率k＝tan135°＝－1，又k＝，由＝－1，得y＝－5.(2)由题意得＝1，∴m＝1.]直线倾斜角与斜率的综合[探究问题]1．斜率公式k＝中，分子与分母的顺序是否可以互换？