5.2数列综合应用

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1、2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：5.2数列综合应用一、数列求和（一）分组转化求和※相关链接※1、数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之；2、常见类型及方法(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解；(2)an＝a·qn－1，利用等比数列前n项和公式直接求解；(3)an＝bn±cn或数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前n项和.注：应用等比数列前n项和公式时，要注意公比q的取值。※例题解析※※【例】(1)已知数列:则其前n项和S

2、n=__________(2)已知①求数列{an}的前10项和S10;②求数列{an}的前2k项和S2k.【方法诠释】(1)先求数列的通项公式，再根据通项公式分组求和.(2)把奇数项和偶数项分开求和.解析：(1)∵答案:(2)①S10=(6+16+26+36+46)+(2+22+23+24+25)②由题意知,数列{an}的前2k项中,k个奇数项组成首项为6，公差为10的等差数列，k个偶数项组成首项为2,公比为2的等比数列.∴S2k=［6+16+…+(10k-4)］+(2+22+…+2k)（二）错位相减法求和※相关链接※1、一般地，如果数列是等差数列，

3、是等比数列，求数列的前n项和时，可采用错位相减法；2、用错位相减法求和时，应注意（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出的-的表达式。3、利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和，若公比是个参数（字母），则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和。※例题解析※〖例〗已知数列满足是首项为1，公比为a的等比数列。（1）求；（2）如果a=2,，求数列的前n项和。思路解析：（1）根据题意得到表达式，再用累加法求通项；（2）利用错位相减法求和

4、。解答：（1）由，当n≥2时，，∴①当a=1时，;②当a≠1时，，∴（2）……………………………………………………………①则…………………………………………②①-②，得（三）裂项相消求和※相关链接※[1、利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等；2、一般情况如下，若是等差数列，则，，此外根式在分母上可考虑利用有理化因式相消求和3、常见的拆项公式有：（1）（2）（3）（4）（5）※例题解析※【例】（20

5、12·大连模拟）已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn,且满足4Sn=(an+1)2，(1)求{an}的通项公式;(2)设数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn的最小值.【方法诠释】(1)利用Sn+1-Sn=an+1寻找an+1与an的关系.(2)先用裂项法求Tn,再根据数列{Tn}的单调性求最小值.解析：(1)因为(an+1)2=4Sn,所以所以即∴2(an+1+an)=(an+1+an)·(an+1-an).因为an+1+an≠0，所以an+1-an=2，即{an}为公差等于2的等差数列.由(a1+1)2=4a1，解得a1=1,所以an=2

6、n-1.(2)由(1)知∴Tn=b1+b2+…+bn∴Tn+1＞Tn，∴数列{Tn}为递增数列,∴Tn的最小值为（四）数列求和的综合应用〖例〗设数列满足，（1）求数列的通项公式；（2）设，，，求数列的前n项和；（3）若思路解析：（1）通过已知条件递推变形，构造等比数列或用迭代法求解；（2）利用错位相减法求；（3）利用反证法证明。解答：（1）方法一：由题意，，∴当a≠1时，∴当a=1时，仍满足上式。∴数列的通项公式为。方法二：（2）（3）由（1）知。若，则。∵，∴。由对任意成立，知c>0.下证c≤1.用反证法。方法一：假设c>1.由函数f(x)=的函数

7、图象知，当n趋于无穷大时，趋于无穷大。∴不能对恒成立，导致矛盾。∴c≤1,∴o

8、比数列前n项和公式时注意公比q的取值。同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的难