数学物理方法习题及答案

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1、:L・证明二"—2口不能成为N的一个解析函数的虚部.卩(乂」)=是某解析函数于(N)贝(Jv(x^y)必是调和函数・但是由穿=5即気+鬱=2“&^9去3矽29证明：设的虚部’于詁=2所以pgy)=不是调和函数'故而不能作为某解析函数的虚部.2・证明二f(^:)=Im^:在n=O点可导，不解析.证明二1Sz=xiy,贝Uu^x^yy=Re/'(^7)=xyy)=Irn./(n)=，八2・显然函数£/(A7,3^),v(A7,y)在整个宣平面上是连绽可微的，旦cwcm=H=GxDyi%,=oF=S由于LO.xOy”田JC)/fc)tt

2、-Cv_r?v■/)v_Cx乂=O,■夕•歹_y=O,所以《/(n)的实部和虚部貝在(OQ)点满足C-Ft条件，散而可矢口十(刃貝在(0,0),艮卩N=O点可导，但勻三解析・3.求/(N)使得/(Z)=4z-3y(1+I)=-3i・解：由于《/'(z)=4z3,则其原函数为f(z)=2-?一3n+C(其中C是复常数).再利用条件/•(!+I)=-3/,有/(1+O=2(1+iy-3(1+z)+<7=-3i,由此得0=3—4力,所以Z(z)=2才一3n+3—4方・4.求函数Z（Z）=（N—1）：N—2）分另u在区域O

3、一ll<+g内的洛朗级数展幵式;.解：在OVlN—llvl内展幵式为十（n）=——乞（N—IX;厶1//O在1V

4、N—11<+8内展开式为/'（N）=二（二_

5、

6、5-ijl—hi

7、〜三+5二+6运］W1傍」3騎UX和屈CautHy定瑾知屯迓掘十扬送•十甘=O・(jcrf+lx=6(2—1)［乂(O)=jvO)=O角乍:设Z-{x(>)}=X(/?),y/无呈仙121l［ZI--aplaceiS&f扌奂，并不Ll用初女台条竹：，得至Up2x(p)+"X(p)=0-"xs=L「p-+「乂(门=乙一i{XO)}=sinrkCr-1)177(r-

8、1)K./(O)=O并利设厶{心)}=/(/7),戈讶呈网边取Laplace变扌奂,川初始条件，得到PQP)+丄/(")=e"P/(")=e—"P/(F)=乙一i{/(”)}=cos(r—1)7/(片—1)一例3沿图所示的三条曲线分另U计算食变函数fcRe(z)dzMO至UB的定积分。xdz.+匸解：xdz+IxdzJAJAB=fOd(Zy)+]xd(x4-Z)=2Lxdz=t加(兀+碍)=(1+；Z)[xdx=2+Zxdz=2+2/=丄彳2兀£M乙—adN=Umc

9、c广—>oJz—ci=relcpidco=]im/o'id"fy+单连通

10、域上的Cauchy积分公式女R/(z)在单连通闭区域B上角军杖T,厶为BI1勺边界线，a为B内的任意一点，贝I」/S=」_孑厶2心■证明：才/(N)=1心『厶匸土厂一＞oJ)relcp=fjfdS=2兀ijf—变形cf2兀I4占—NJZE_tfl勺么、设£是U”C72_..,qBl丿血Ji勺多连通区域，函数./U）茬B内角军枚T,茬石■上连绫，贝IJX寸占内住一点;夕，W第二节Uauchy左王里•単连迪匡:域内角军析，贝U足各积G耳足各彳荒无米，売全lil走亘点不口纟冬程套连迪匡砂内角罕析,贝II回足各枳。等于沿叵1略里”亍育内丈么界线禾只

11、分上和。同理：L［cosktrcoskt-e~ptdt=P_p2十花2(3)由拉氏变换定义有：乙［&刀］=eate~p,dtRc(/?)>6Z1p—aY「48M=—M(OVXV7T1>O)〃9.09、r/“

12、.v=O=°，M

13、穴=疋=。vi1zo=sin3jv+vtt

14、fc>=O分析；右程不是齐次形式，要作齐次化处理!u(^x^Z)=VZ)+W(乂)(2)由拉氏变换定义有:例3求解女口下崔解冋丿代入原右程得二48匕=—(Vvv+W")_—“9、心9欲便关于P(斗/)的定解问题可分离变量，W(±)要满足,—W〃=O99W(())=(),XV(

15、7T)=兀°求解得：WM=原问题变为：V4匕VKV兀">O)V=O,V

16、_=ov

17、r=o=sin3乂,匕

18、z=o=°由分离变量得定解问题的一般解为'、…、nrcat….n7rcitx.n7rxv(x.I)=>,(CcoshDnSin—-—)sin—-—M=1/II=士(Ucos2m+Dsin2m)sinnxn=l33由初始条件得二V（X,r）=sin3xcos2r所以，定解问题的解为:“(乂,ty=sin3jccos2》+乂？6函数的性质匸50)/3厶=/(O匚(x—xo)

19、/(x)^Z年y*(xo)^Ao—OFourier变换：性质6（卷积性质〉歹｛f（乂）水厶（乂）｝=2兀F（e）•F2（q）质1（导数性质）歹｛/'（乂）｝=ieF匚3）l_