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1、第一章相似三角形的判定及有关性质第一节平行线等分线段定理(一)平行线等分线段定理一.平行线等分线段定理：如果一组平行线在上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段.推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必•推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线.例1.如图，己知在ZABC中，AD,BF为中线，EAD,BF交于G,CE〃FB交AD的延长线于E,求证：AG二2DE习题1•己知AD是在ZXABC的中线，E为AD中点,求证：AF二丄AC3例2.如图，在梯形ABCD中,AD/7BC,BC=2AD,E、F分别是AB、CD的中点,EF交BD于G,交AC于H。求证：EG=GH=HF
2、习题2•已知如图在梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别是AB、DC的中点,连接EF,且EF交BD于G,交AC于H。求证：GI【二丄(BC-AD)2习题3.如图，在AABC中,是•(2)D、E分别是AB、AC的中点。则AADE与四边形DECB的面积之比习题4.已知：如图，在梯形ABCD中，人D〃BC〃EF,E是AB的中点，EF交BD于G,交AC于H。若AD二5,BC二7,则GH二・【课后作业】1.已知：如图，M、N分别是UABCD的AB、CD边的中点，CM交BD于点E,AN交BD于点F,请你探究BE、EF、FD三条线段之间的关系，并给出证明。2.如图，梯形ABCD屮，AD〃BC,ZA
3、BC二90°。M是CD的屮点求证：AM=BM（二）平行线分线段成比例定理一.平行线分线段成比例定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段结论：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边例1.用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所截得的三角形的边与原三角形的三边对应成比例习题1.若改为“用平行于三角形一边且和其他两边延长线相交的直线截三角形，”其他不变,如何证明？例2.如图，梯形ABCD屮，AD〃BC,点E、F分别在AB,CD上且EF〃BC,A
4、E1(1)如果一求证：3EF二BC+2M)EB2AE2(2)如果——二一，求证：5EF二2BC+3ADEB3AFIY(3)请你探究一般结论，即若—,那么可以得到什么结论?EBn例3.三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。习题2.如图，EF〃BC,FD〃AB,AE=1.8cm,BE=1.2cm,CD=1.4cm.则BD=习题3.AABC中，点D为BC中点，点E在CA上，且CE冷EA,AD,BE交于点F,则AE:FD=第2题【课后作业】1.如图3,在AABC中作平行于BC的直线交AB于D,交AC于E,如果BE和CD相交于相交于0,A0和DE相交于F,A0的延长线
5、和BC相交于G,证明：(1)—=—(2)BG=GCGCFE2.如图4,在△ABC中，作直线DN平行于中线AM,设这条直线交边AB与点D,交边CA的延长线于点E,交边BC于点N.求证：AD:AB=AE:AC.3.如图5,等边'DEF内接于△ABC,且DE//BC,已知AH丄3C于点〃，BC=4,求△def的边长.第二节相似三角形(一)相似三角形的判定一.相似三角形的定义：对应角,对应边的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做O二.相似三角形的判定定理：(1)(SAS)(2)(SSS)⑶(AA)三.直角三角形相似的判定定理⑴⑵⑶EB例1.如图7,E,F分别是正方形ABCD的边A
6、B和AD上的点，且一ABAD3求证：ZAEF二ZFBD.求证：ADBE^AABCo习题1。将两块完全相同的等腰直角三角形摆成如图的样子，假设图中所有点线都在同一平面内，找出图中所有相似的三角形，并证明其中的一对相似。习题3.在Rt△ABC中,ZABC二90。0,BD1AC于D,若AB二6,AD=2,BD二BC-则AC=_第2题习题2.点D在AB上，当Z=Z时，△ACDsAABC。习题4•如果一个圆过AABC的顶点B和C,并且分别交AB、AC于点D和点E,求证:AD_AEAC_AB【课后作业】1.已知AABCD川,&是化延长线上一点，前分别交弘和％于从尸两点，证明：AF•AD=AG・BE
7、1.如图，已知：DE〃AB,EF〃BC。求证：ADEFsAABCA(二)相似三角形的性质一.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于;相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于相似三角形而积的比、外接圆的而积比都等于;例1.两个相似三角形相似比为3:2,面积之和为39cm2,求这两个三角形面积。交于点F,DE=-CDo例2.如图，平行四边形ABCD中，E是CD延长线上的一点，BE与AD2(1
