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时间:2019-10-19
《现代通信原理、技术与仿真第2章确定信号分析》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2章确定信号分析2.1信号的正交分解与频谱分析2.2能量信号与功率信号2.3相关函数与功率谱密度函数2.4傅立叶变换的不足与信号的时-频分析法2.5窄带系统与窄带信号分析2.6复数信号与时域希尔伯特(Hilbert)变换2.7计算机仿真的一般方法习题2.1信号的正交分解与频谱分析2.1.1信号的正交分解若某信号x(t)在区间(t0,t0+T)内是分段连续的,则x(t)可以用该区间内的正交函数系{uk(t)}={u0(t),u1(t),…}中的各分量来表示。这就是信号的正交展开。所谓正交函数系,是指{uk(t)}在(t0,t0+T)范围内满足:(2.1)式中,若C=1
2、,则称{uk(t)}为标准正交函数系。x(t)用正交函数系{uk(t)}可展开为(2.2)式中,uk(t)是正交函数系{uk(t)}中序号为k的函数;ak是x(t)在{uk(t)}上展开的特征向量,也称为展开系数,即x(t)在分量uk(t)上投影的大小。可见,正交展开就是把x(t)用在正交函数系各分量上的投影来描述。利用式(2.1)和式(2.2)可以容易地求出系数ak。将式(2.2)两边乘以ul(t),并在区间(t0,t0+T)内积分,得:(2.3)所以(2.4)当C=1时,有:(2.5)当对x(t)的展开式(2.2)取有限项时,会带来一定的误差,若取k=N有限项,则
3、截断展开式 为(2.6)这时x(t)与 的均方误差Q为(2.7)显然,恒有Q≥0。设{uk(t)}为标准化正交函数系,则(2.8)因而得:(2.9)以上不等式对任何标准正交函数系都成立,称为贝塞尔(Bessel)不等式。这说明任何函数x(t)的正交展开式中的系数的平方和总是收敛的。显然,随着N值的增加,是单调增大的。当N取足够大时,可以使任意逼近于,那么应有:(2.10)在这种情况下,{uk(t)}是完备的正交函数系,这时不需要其他不属于{uk(t)}的函数来补充参加x(t)的精确展开。 式(2.10)称为完备性关系,它是描述x(t)总能量的关系式,称为信号
4、的瑞利-帕斯瓦尔(Rayleigh-Parseval)定理。该定理指出:能量信号的总能量等于它的正交展开的各项分量的能量之和。2.1.2信号的频谱分析信号的傅立叶分析就是对信号用完备正交的三角函数系展开的分析方法。傅立叶分析又称为信号的频谱分析,是分析确定信号的基本方法。在“信号与系统”课程中已学过,对周期信号x(t),可用傅立叶级数展开为(2.11)(2.12)式中,T为信号x(t)的周期;cn是信号x(t)展开后n次谐波的系数;ω0=2π/T,为周期信号的基波角频率。对于非周期信号x(t),可用傅立叶变换求出信号的频谱密度函数X(ω),即(2.13)(2
5、.14)x(t)与X(ω)的关系常记为其中,符号“”表示傅立叶变换对。傅立叶变换提供了信号的时域表示与频域表示之间的变换工具。在通信系统中,为了统一描述周期信号和非周期信号,对周期信号也同样采用频谱密度函数来表示。周期信号x(t)的频谱密度函数X(ω)可通过式(2.11)和式(2.13)求得,即(2.15)由式(2.15)可以看出,周期信号的频谱密度函数是由一系列冲激离散频谱构成的,这些冲激位于信号基频(ω0=2π/T)的各次谐波处,即nω0(n=0,1,2,…)。为了方便计算周期信号x(t)的频谱密度函数X(ω),也可将x(t)在一个周期内截断,得到信号xT(t)
6、,然后求出xT(t)的傅立叶变换XT(ω),再对得到的XT(ω)的周期进行延拓,从而求得X(ω)。下面介绍这种方法。设xT(t)为x(t)在一个周期内的截断信号,即(2.16)而则有:(2.17)比较式(2.15)与式(2.17)可得:(2.18)由此可见,由于引入了δ(·)函数,对周期信号和非周期信号都可统一用信号的傅立叶变换(即频谱密度函数)来表示。【例2.1】设周期矩形信号x(t)如图2.1(a)所示,试求其频谱密度函数X(ω)。解:设xT(t)为x(t)在一个周期内的截断信号,如图2.1(b)所示,则有XT(ω)如图2.1(c)所示。由式(2.17)得:若T=
7、2τ,则有:X(ω)如图2.1(d)所示。图2.1周期矩形信号及其频谱密度函数以上讨论了周期信号和非周期信号的频谱分析方法。然而,把确定信号分为周期信号和非周期信号有一定的局限性,如在通信系统中,常会遇到一类非正规信号,它是一种确定信号,因为从理论上总能找到一种函数来近似表示它,但它既不是周期信号,也不是有始有终的非周期信号,如图2.2所示。对这类非正规信号应如何描述呢?下面将进一步研究。图2.2非正规信号2.2能量信号与功率信号2.2.1能量信号与能量谱密度函数能量信号x(t)是指一个在时域上有始有终、能量有限的信号,如图2.3所示。设x2(t)是
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