第17讲函数单调性问题的处理-高考数学热点难点突破技巧

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1、高中数学热点难点突破技巧第17讲：函数单调性问题的处理【知识要点】一、函数单调性问题是高考数学考查导数常考的题型，是高考数学的重点和难点.高考数学在考「查函数的单调性时，多是求函数的单调性（已知函数的单调性求参数的范围的比较少），多是含有参数IL结构比较复杂的函数，对学生的计算能力、思维能力、应变能力、心理素质都要求比较高，充分体现了高考数学能力立意的特点.二、用导数求函数的单调区间（四步曲）求函数的定义域D-求导解不等式/（x）>（<）0得解集求DP,得函数的单调递增（减）区间.三、根据最近几年的高考题来看，要把函数的单调性问题处理到位，要

2、注意以下几个方面能力的培养：（1）不管是含有参数的函数，还是不含有参数•的函数，函数单调性的判断的步骤都是四步曲，解答时一定要严格遵循步骤，不能随心所欲.特别是不要遗漏了函数的定义域.（2）在某些关键环节，注意分类讨论的思想的运用（可以参考分类讨论思想笔记），提高数学逻辑思维能力和分类能力.（3）理解掌握导数知识准确计算导数，特别是和、差、积、商的导数，⑴兀、，、丄的导数，复合函数的导数.（4）要培养观察能力，提高x运算能力（通分、因式分解、解•不等式等），要会解答形如（x-d）（x-4（兀—c）>0、（ex-a）（ex-h）>0>（x-a）

3、（x-sinx）>0的不等式，要会分类讨论.【方法讲评】2r-1【例1】（2016年山东高考理科数学）已知/（x）=a（x-kix）+——；—gR.X（I）讨论/（无）的单调性；（II）当G=1时，证明/（劝>厂（兀）+寸对于任意的"[1,2]成立.【解析】（I）求导数广（兀）=0（1—丄）一空二=仝迎一冬啟二血卩⑺一三）XXXXX_（X-1）ax1-2_（X—1）（2—2）XX2X3当G<0时，xe（0,1）,/z（x）>0,/（朗单调递增，xe（l,+o^,/z（x）0时，•厂(兀)=(X-l)(ax22)a

4、(x—i)(x—⑴当0W2时〉>1〉x€(0,1)或^€(』；,+8)>/'(a)>0/(x)单调递増〉龙f(x)<0,/(x)单调递减；⑵当a=2时，J

5、=l，xW(0,+g,f(x)>0,/(兀)单调递增，⑶当6/>2时，0vJ20,f(兀)单调递增，Vavaxe(Jj,1),f(x)<0,/(x)单调递减；2尢—1(II)当d=1时，/(x)=%—lnx+—；~F(x)=(兀一1)(亍一2)=1于是/(X)—/z(x)=x~lnx+312二x—x~l+—+—"[1,2]312令g(X

6、)=x~Inx,h(x)=—1+—+,xe[1,2]xx兀‘]x—

7、于是/(%)—/z(x)=g(x)+/z(x),g'(x)=l二=0,g(x)的最小值为g(l)=l;XX又h3=—2—=n+6JCXXX4设也兀)二一3兀2—2兀+6,xg[1,2],因为8⑴=1,0(2)=-10,所以必有兀0曰1，2］，使得0(xo)=O,且1v兀v兀°时,0(x)>0,加兀)单调递增;x0

8、>g(l)+/z(2)=l+-=-.3即f(x)>f(x)+一对于•任意的牙w[1,2J成立.2【点评】(1)第1问的关键，首先是.求导，有的同学可能不能化简得到/©)=(厂凯竽一2)(x>0),因为他不能看到公因式(x-1),或者不会因式分解，导致他得不到广(兀)=(L1)(竽一2)(x>0),所以这里求导比较关键，观察比较关键，化简(通分、因式分解)比较关键.(2)求导Z后，一般要把导数化成因式的乘积形式，因为这样便于后面解不等式求单调区间，如果你不化成乘积的形式，后面怎么解不等式？所以这些套路，我们都要知道.(3)第二个关键是求导得到f

9、(x)=(X~')(^r~2)(x>0)X后，怎么解不等式(x-1)(ox2-2)>0求函数的增区间，所以解不.等式(x-l)(ar-2)>0又成为一个关键,首先要就d分a<0和。〉0讨论，因为解高次不等式首先要把兀"的系数变成正数.a>0时，不.等式变为(x-l)(x-J-)(x+J-)>0，又要就1和J?大小分类讨论.如果你的逻辑不清楚，当然你就■无法解答了.VaVaVci【例2](2017高考新课标I文科数学第21题)已知函数/(x)=ev(ev・a)・▲.(1)讨论，(兀)的单调性；(2)若/(X)",求d的取值范围.【解析】⑴函数于

10、仗)的定义域为(-00,+00),八功=20-诊-"2=(2/+力y-初①若。=0,则=在(Y,+oo)单调递増.②若则由/V)=0得x=lna・当xg(—00,I