第05讲函数的零点问题处理方法-高考数学热点难点突破技巧

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1、高考数学热点难点突破技巧第05讲：函数的零点问题处理方法【知识要点】一、方程的根与函数的零点(1)定义：对于函数y=/(x)(xgD),把使f(x)二0成立的实数兀叫做函数y=/(x)(xgD)的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的数学概念有截距和极值点等.(2)函数零点的意义：函数y=/(兀)的零点就是方程/(x)=0的实数根，亦即函数y=/(尢)的图像与兀轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根o函数y=/(兀)的图像与兀轴有交点o函数y=/(兀)有零点.(3)零「点存在性定理：如果函数y=f(x)在•区间［d,b］上

2、的图像是一条连续不断的曲线，并且有f(a)-f(b)<0,那么函数y=/(x)在区间⑺上)内至少有一个零点,即存在ce(a,b)使得/(c)=0,这个C也就是方程的根.函数y=/(x)在区问［d,b］上的图像是一条连续不断的曲线，并且有/«)・/(/?)<0是函数>'=/(%)在区间⑺上)内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决.二、二分法(1)二分法及步骤对于在区间［c,b］上连续不断，•目.满足f(a)•/(/?)v0的函数y=/(x),通过不

3、断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法.(2)给定精确度用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：第一步：确定区间［讪,验证f(a)-f(b)<0,给定精确度£・第二步：求区间(a,b)的中点兀［・第三步：计算/(xj：①若7^)=0,则旺就是函数的零点；②若/⑺)/(舛)<0,则令b=x{(此时零点兀0$(口,兀］))③若/(%!)f(b)<0,则令a=x{(此时零点Xq€(%,,/?))第四步：判断是否达到精确度£即若a-b<£.则得到零点值d或b,否则重复第二至第四步.三、一元

4、二次方程/(X)=OX2+/ZV+C=0(GH0)的根的分布讨论一元二次方程f(x)=ax2+bx-}-c=O(a^O)的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组：(1)d的符号；(2)对称轴x=-—的位置；(3)判别式的符号；(4)根分布的区间端点的函2a数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1,其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入.五、方法总结1、函数零点问题的处理常用的方法有：(1)方程法；(2)图像法；(3)方程+图像法.2、高考考查•单调函数的零点时，一

5、般要找到两个变量b,并且要证明f(a)-/(/?)<0.这是一个难点，一般利用放缩法证明/«)•f(b)<0.【方法讲评】方法-方程法.使用情景方程可以直接解出來.解题步骤先解方程，再求解.【例1】已,知函数f(x)=3x2+2(1-^-^+2)区间(—1,1)内有零点，求实数a的取值范围.【解析】令/(x)=0得(3x+c+2)(x-d)=0所以习二■畤二花二。所以・1<-学<1或・1s<1解之得・55<13所以实数“的取值范围为・5svl.【点评】(1)本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比佼简洁.关键是能发现方程能直接解出来.(2)对

6、于含有参数的一元二次函数要比较敏感，看到它就要想到因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.【反馈检测1］惭数/(x)=(—l)cosF在区间［0,4］±的零点个数是()A.4B.5C.6D.7方法二图像法使用情景函数是一些简单的初等函数（反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等）或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性，再根据函数的单调性画出函数的图像分析.【例2】（2016年北京高考文科）设函数/（x）=++bx+c.（1）求曲线y=/（x）.在点（0,/（0））处的切线方程；（2）设a=b

7、=4,若函数/'（兀）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：cr-3b>0是/（兀）.有三个不同零点的必要而不充分条件.【解析】（1）由/（x）=x3+得f（x）=3x2+2ax+5.因为/（o）=5r（o）=^所以曲线］=/（x）在点（0:/（0））处的切线方程为y=加+c・（2）当a=b=4时，/（x）=x3+4x2+4x4-c,所以/'（%）=3x2+8x+4.2令/'（兀）=0,W3x2+8x+4=0,仰牟得x=—2或尤=—一./（X）与fx）在区间（YO,4W）上的情况如下:X-22（2）——,+0013丿/©）+0—0+C3

8、2c273?（2、所以，当C〉0」I.CV0时，存在X

9、G（YO,—2）,X-yG—2,—273；（2、花w--,0,使得/（坷）=于（疋）=/（冯）