2、区间（a,b）内可导，那末在（a,b）内至少有一点c,使立。这个定理的特殊情形，即：畑二他）的情形，称为罗尔定理。描述如下：若卩⑴在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）内可导，且此二恥），那末在（a,b）内至少有一点c,使时（°）=°成立。注：这个定理是罗尔在17世纪初，在微积分发明之前以几何的形式提岀来的。注：在此我们对这两个定理不加以证明，若有什么疑问，请参考相关书籍下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理一一柯西中值定理柯西中值定理如果函数/(*,g(X)在闭区间［a,b］上连续，在开区间(a,b)内可导，且gW工0,那末在(a,b)内至少有一点
3、c,使g@)一g(a)S(c)成立。例题：证明方程5/-4i+l=0在o与1之间至少有一个实根证明：不难发现方程左端5(-4x+l是函数/(x)二『-2“+x的导数：f(x)=5『-4x+l52函数/(x)=x-2x+x在［o,u上连续，在(o,i)内可导，且/(0)=/(1)=0,由罗尔定理可知，在0与1之间至少有一点c,使f(c)=0,即5/-4x+l=0也就是：方程5/-4x+l=0在o与1之间至少有一个实根未定式问题问题:什么样的式子称作未定式呢?答案:对于函数来说,当x~a(或X-oo)吋，函数/W,gW都趋于零或无穷大Em型则极限(19)")可能存在,/W也
4、可能不存在，我们就把式子g(R称为未定式O分别记为000型我们容易知道，对于未定式的极限求法，是不能应用H商的极限等于极限的商H这个法则來求解的，那么我们该如何求这类问题的极限呢？下面我们来学习罗彼塔（L'Hospital）法则，它就是这个问题的答案注：它是根据柯西中值定理推岀来的。罗彼塔（UHospital）法则当x—a（或x—x>）时，函数/W,gW都趋于零或无穷大，在点a的某个去心邻域内（或当
5、x
6、>N）时，广（X）与『⑴都存在，『⑴工o,且阻）&（力存在曲型讪血则：阻）g⑴皿）g"）这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法，就是所谓的罗彼塔（UHospi
7、tal）法则注：它是以前求极限的法则的补充，以前利用法则不好求的极限，可利用此法则求解。(*0)sinaxlim例题:00型求解求i°sinbx解答：容易看岀此题利用以前所学的法则是不易求解的，因为它是未定式中的问题，因此我们就可以利用上面所学的法则了。.・sinaxracosaxlim=limiosinbxzbcosbx例题:limax2+iex2+d00解答：此题为未定式中的8型求解问题，利用罗彼塔法则来求解limex2+dax+bv2axa=lim=-w02cxcn9磐另外，若遇到0oo、8-00、r>0°>00°等型，通常是转化为08型后，在利用法则求解。lim
8、(xlnx)例题：求解答：此题利用以前所学的法则是不好求解的，它为O・00型，故可先将其转化为0oo型后在求解,lim(xlnx)=limjttO"xtO*1“=limf=lim-x=0r->0*1xtO*注：罗彼塔法则只是说明：对未定式来说，当者的极限相同；而并不是（X）不存在时，塔法则存在的条件破列。（*）g3存在，则（m）g⑴存在且二輒—JX）g（x）也不存在，此时只是说明了罗彼函数单调性的判定法函数的单调性也就是函数的增减性，怎样才能判断函数的增减性呢？我们知道若函数在某区间上单调增（或减），则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正（或负），也就是函数的导数在此区
9、间上均取正值（或负值）.因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的增减性.判定方法：设函数7在［a,b］上连续，在（a,b）内可导.a）:如果在（a,b）内广⑴>0,那末函数7=/W在［a,b］上单调增加；b）:如果在（a,b）内广（X）<0,那末函数在［a,b］上单调减少・例题：确定函数X-1的增减区间・解答：容易确定此函数的定义域为（一X,+°°）其导数为：/rw=/-1,因此可以判出：当x>0时，m>0,故它的单调增区间为（0,+s）;当x<0时，m<0,故它的单调减区间为（-00,0）;注：此判定方法若反过来讲，则是不正确的。函
