几类不同增长的函数

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1、3.2.1几类不同增长的函数模型(2)解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题；二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解.分析和解决函数应用题的思维过程：实际问题读懂问题抽象概括数学问题演算推理数学问题的解还原说明实际问题的解几类常见的与不同增长的函数有关函数模型有：（1）一次函数模型:y=kx+b（2）二次函数模型:y=ax2+bx

2、+c（3）指数函数模型:y=abx+c（4）对数函数模型：y=mlogax+n（5）幂函数模型：y=axn+b问题提出2.利用这三类函数模型解决实际问题，其增长速度是有差异的，我们怎样认识这种差异呢？1.指数函数y=ax(a>1)，对数函数和幂函数y=xn(n>0)在区间（0，+∞）上的单调性如何？幂、指、对函数模型的差异性探究（一）：特殊幂、指、对函数模型的差异对于函数模型：y=2x,y=x2,y=log2x其中x>0.思考1:观察三个函数的自变量与函数值对应表,这三个函数增长的快慢情况如何？…1.7661.5851.3791.1380.8480.4850

3、-0.737-2.322y=log2x…11.5696.764.843.241.9610.360.04y=x2…10.55686.0634.5953.4822.63921.5161.149y=2x…3.43.02.62.21.81.410.60.2x在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置关系如何？请画出其大致图象.xyo1124y=2xy=x2y=log2x思考2:根据图象，不等式log2x<2x

4、,填写下表并在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象.xyo1124y=2xy=x2416从图象可知它们有两个交点，这表明与在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时，有时xy=2xy=x20102030405060110241.05E+061.07E+091.10E+121.13E+151.15E+180100400900160025003600501001.10E+121.13E+15研究函数,填写下表并在同一平面直角坐标系内画出这二个函数的图象.当自变量x越来越大时，可以看到，的图象就像与X轴垂直一样，的值快速增长，比起来，几乎有些微不足道.5010

5、01.10E+121.13E+15研究函数,填写下表并在同一平面直角坐标系内画出这二个函数的图象.探究（二）：一般幂、指、对函数模型的差异思考1:对任意给定的a>1和n>0，在区间(0,+∞)上ax是否恒大于xn?ax是否恒小于xn?思考2:当a>1，n>0时，在区间(0,+∞)上,ax与xn的大小关系应如何阐述？思考3:一般地，指数函数y=ax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上，其增长的快慢情况是如何变化的？指数函数和幂函数增长情况比较:在区间(0,+∞)上,无论n(n>0)比a(a>1)大多少,尽管在x的一定变化范围内,ax会小于x

6、n,但由于ax的增长快于xn的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有ax>xn思考4:对任意给定的a>1和n>0，在区间(0,+∞上,logax是否恒大于xn?logax是否恒小于xn?思考5:随着x的增大,logax增长速度的快慢程度如何变化?xn增长速度的快慢程度如何变化？思考6:当x充分大时,logax(a>1)xn与(n>0)谁的增长速度相对较快？xyo1124416对数函数和幂函数增长情况比较:在区间(0,+∞)上,随着x的增大,y=logax(a>1)增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与x轴平行一样.尽管在x的一定变化范围内,y=logax

7、可能会大于xn(n>0),但由于y=logax的增长慢于xn的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有y=logax1)，y=ax(a>1)与y=xn(n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上。随着x的增大，y=ax（a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有logax

8、函数y=logax(0