高三数学知识要点重温（5）等差、等比数列

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1、高中数学知识要点重温（5）等差、等比数列1．公差不为0的等差数列的通项是关于n的一次函数，一次项系数是公差；前n项和是关于n的二次函数，二次项系数是公差之半且常数项为0；即等差数列{}中，=+（为公差，∈），（∈）。证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：an-an-1=常数(=常数)（，也可以证明连续三项成等差（比）数列。[举例]{}、{}都是各项为正的数列，对任意的，都有、、成等差数列，、、成等比数列.试问{}是否为等差数列，为什么？解析：由=得=，于是=（，又2=+，∴2=+（，即2=+（，

2、∴数列{}是等差数列。注意：当用定义证明等差（比）数列受阻时，别忘了这“一招”！上述思路的关键是由“=”到“=（”的过渡，即所谓“升降标”，这也是处理数列问题的一个通法。[巩固]已知等差数列的前项和为，且，则过两点、的直线的斜率为：(A)4(B)3(C)2(D)1[迁移]公差非零的等差数列中，前n项之和为，则数列……中A．不存在等于零的项B．最多有一项等于零C．最多有2项等于零D．可有2项以上等于零2.等差数列{an}中，m+n=p+q，则am+an=ap+aq，等比数列{an}中，m+n=p+q，则aman=ap·aq（m、n

3、、p、q∈）；等差（等比）数列中简化运算的技巧多源于这条性质。[举例1]在等差数列中，为常数，则其前（　　）项和也为常数　（A）6　　（B）7　　（C）11　　　（D）12　　　　解析：等差数列的前k项和为常数即为常数，而=3为常数，∴2=为常数，即前11项和为常数，选C。注意：千万不要以为==，那就大错特错了！所谓“下标和相等则对应项的和相等”，是指两项和等于两项和，三项和等于三项和……。等差数列中“n项和”与“两项和（转化为a1+an）”有关，某一项或某几项和均需转化为“两项和”才能与“n项和”联系起来。[举例2]等比数列{

4、}中，a4+a6=3，则a5（a3+2a5+a7）=解析：a5（a3+2a5+a7）=a5a3+2a52+a5a7=a42+2a4a6+a62=(a4+a6)2=9[巩固]在正项的等差数列{}和正项的等比数列{}中，有，，试比较与的大小。[迁移]等比数列{}中，、是方程（）的两根，则=若把条件中的“”换成“”呢？若把条件中的“、”换成“、”呢？[提高]在等差数列中，前n项之和为,已知S5=25,Sn=64,Sn-5=9,则n=_____3．等差数列前n项和、次n项和、再后n项和（即连续相等项的和）仍成等差数列；等比数列前n项和（

5、和不为0）、次n项和、再后n项和仍成等比数列。[举例1]在等比数列中，S2=40，S4=60，则S6等于()A10B70C80D90解析：在等比数列中，第一个两项和为40，第二个两项和为20（注意：S4是前4项和，不是两项和），则第三个两项和为10，S6为三个两项和相加，选B。[举例2]在等差数列中，前n项之和为,已知S3=4，S18-S15=12，则S18=解析：在等差数列中，第一个三项和为4，第六个三项和为12，S18即首项为4，末项为12的等差数列的6项和，为48。[巩固]在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,已知S5=

6、2-b,S10=4-b,则S15=_________4.等差数列当首项a1>0且公差d<0，前n项和存在最大值。利用不等式组：确定n值，即可求得Sn的最大值。等差数列当首项a1<0且公差d>0时，前n项和存在最小值。类似地确定n值，即可求得sn的最小值；也可视sn为关于n的二次函数，通过配方求最值；还可以利用二次函数的图象来求。[举例]设等差数列满足3a8=5a13，且a1>0，则的前__________项和最大解析：思路一：由3a8=5a13得：d=a1,若前n项和最大，则，又a1>0得：，∴n=20,即的前20项和最大。这一

7、做法最通行。思路二：Sn=na1+n(n-1)d=na1-n(n-1)a1=-a1(n2-40n),当且仅当n=20时Sn最大。这一做法突显了数列的函数特征。思路三：由3a8=5a13得15a8=25a13,即S15=S25,又∵a1>0，∴Sn的图象是开口向下的抛物线上的点列，对称轴恰为n=20，故n=20时Sn最大。这一做法中几乎没有运算，但设计太过“精妙”，非对等差数列的性质融会贯通而不能为，仅供欣赏。[[巩固]数列是等差数列，是其前n项和，且S5＜S6，S6=S7>S8，则下列结论错误的是：A.d＜0B.a7=0C.S9

8、>S5D.S6,S7均为的最大值（）[迁移]在等差数列则在前n项和Sn中最大的负数为A．S16B．S17C．S18D．S19（）5.注意：等比数列求和公式是一个分段函数na1(q=1)Sn=则涉及到等比数列求和时若公比不是具体数值须分类讨论解题。[举例]已知等比