2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第51讲 空间中的垂直关系 含答案

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1、第51讲　空间中的垂直关系　　　　　　　　　　　　　　1．了解空间直线与平面垂直、平面与平面垂直的定义．2．掌握判断空间直线与平面垂直、平面与平面垂直的方法，能正确判断空间直线与平面垂直、平面与平面垂直．3．掌握直线与平面、平面与平面垂直的性质．知识梳理1．直线与平面垂直的判定(1)利用定义：如果一条直线和一个平面内的　任意一条直线　都垂直，则此直线与这个平面垂直．(2)判定定理：一条直线与一平面内的　两条相交直线　都垂直，那么这条直线就垂直于这个平面．用符号语言可表示为：m⊂α，n⊂α，　m∩n＝A　，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.2．直线与平面垂直的性

2、质(1)由直线和平面垂直的定义知：若一条直线垂直于平面α，则这条直线垂直于平面α内的　任意一条　直线．(2)性质定理：垂直于同一平面的两条直线　平行　.用符号语言表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b　.3．两平面垂直的判定(1)利用定义：两个平面相交，若所成的二面角为　90°　，则称这两个平面互相垂直．(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条　垂线　，那么这两个平面互相垂直．用符号语言表示为：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β　.4．两平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面　垂直　.用符号语言表示为：α⊥β，α∩β＝

3、l，b⊥l，b⊂α，则　b⊥β　.1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则这一条直线也与另一个平面也垂直．热身练习1．下列命题正确的是(D)①如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；②如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；

4、④如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．A．①②B．①③C．②④D．③④　①中两条直线一定要是两相交直线，如果是两平行直线，结论不成立；②中的无数条直线如果是平行直线，结论也不成立；只有③与④才成立．2．下列四个命题：①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两条直线平行；③若直线垂直于平面，则它垂直于平面内的所有直线；④垂直于同一个平面的两条直线平行．其中正确的命题是(A)A．①③④B．①④C．①D．①②③④　由三线平行公理知①正确；由直线与平面垂直的定义知③正确；由直线与平面垂直的性质定理知④正确．3．

5、下面命题中：①两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直；②一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直；③一直线与两平面中的一个平行与另一个垂直，则这两个平面垂直．其中正确命题的个数有(D)A．0个B．1个C．2个D．3个　①正确，是两个平面垂直的定义；②正确，是两平面垂直的判定定理；③正确，即若a∥α，a⊥β，则α⊥β.证明如下：过a作平面γ使α∩γ＝a′，因为a∥α，所以a∥a′，又a⊥β，所以a′⊥β，又a′⊂α，所以α⊥β，故选D.4．下列两个命题中：①两平面垂直，经过第一个平面上一点垂直于它们的交线的直线必垂直第二个平

6、面；②一平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直．对上述两命题的判断中，正确判断的是(C)A．①、②都正确B．①正确，②不正确C．①不正确，②正确D．①、②都不正确　①不正确，当点在交线上时，满足条件，但该直线不一定垂直第二个平面．②正确，即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.证明如下：设α∩γ＝a，在γ内作直线l⊥a，则l⊥α.⇒β⊥γ.由以上分析可知，选C.5．(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(C)A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n　因为α∩β＝l，所以l⊂β.因为n⊥β，所以n⊥

7、l，故选C.　　　　　　　　　　　　　　线面垂直的判定(2018·北京卷·理节选)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝，AC＝AA1＝2.求证：AC⊥平面BEF.在高考中，立体几何解答题常常设置两问，第(1)问常证明线面的位置关系，第(2)常考查与体积、距离等有关的计算．两问的条件常常是一同叙述，图形也由同一图形给出，因此，在证明第(1)问时，要根据证明的要求，对条件要进行适当的筛选．在处理后面所选的例题及变式时，也要注意这一点．在三棱柱ABC－A1B1C1中

8、，因为CC1⊥平面ABC，所以四边形A1ACC1为矩形．又E，F分别为AC，A1C1的中点，所以AC⊥EF.