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1、2017宁夏教师资格证学科知识考点:高频考点梳理■特征值与特征向量2017年教师资格考试已经开始，宁夏教师资格考试参加全国统一•考试，考试科目比以前增加了许多，相对应的考试难度也有所增加，在这里中公教育专家整理了一些教师资格证相关的蚤考站分享给各位考生，希望对各位的考试能有所帮助。需耍更多指导，请选择在线咨询一对一解答。一、特征值与特征向罐历年考点分析2013年上半年高中,在选择题的第2题考查了特征向量；2014年卜•半年高中，在选择题的笫3题考查了特征向量；2016年上半年高中,在选择题的第5题考查了矩阵的特征值；2016年下半年高中,在选择题的笫5题考查了矩阵的特征值；2017
2、年上半年高屮，在选择题的第6题考杏了特征向址；从这几套历年真题可以分析出，教师资格证数学统考特征值与特征向最的考点主要是矩阵的特征值和矩阵的特征向量这两大考点。考生在高屮数学教师资格证考试的备考屮应注意复习矩阵与向量。二、特征值与特征向量历年真题及详细解析1.（2013年上半年高中2）设1为3x3实数矩阵，刁为M的实特征值》的特征向量，则下列叙述正确的杲（）•A.当坯工0时，ME垂直于刁B.当；1＞0时，与&方向相反C.当兄＜0时，M万与刁方向相同D.向量MN与万共线1.【答案】D.解析：由已知得=肮，所以A历与万共线.2.（2014年下半年高中3）设凶=0,耳、色是线性方程组攵
3、=0的一个基础解系,化2*0,则下列向量中不是矩阵A的特征向量的是（）・A.3^+0.B・耳・3冬C・4+3$D・3冬2.【答案】C・解析：因为內、勺是线性方程组曲=0的一个基础解系，所以生=血=0・对于选项A有厦（3內+旳）=3一绍+加2丸二呛內+勺），所以是A的特征向量；同样迭项B也是:矩阵A的特征向量；对于选项D,由于桃=冬工0,所以加（3冬）=3命=3冬，故D也是矩阵A的特征向量；至于选项C,月（q+3他）=胡+3Aas=3他不能写成加（④+3他）的形式〉所以C不是矩阵A的特征向量.1223.（2016年上半年咼中5）矩阵212的特征值的个数为＜）.221A.0B・1C.2
4、D・33•【答案】D・中公教育解析：z-1-2-2
5、z£—=—2A—1—2=(x—1)'—8—8—4(x—1)—4(x—1)—4(x—1)-2-2x-1=(z-1)312(A-1)-16=(z+1)2(A-5)5可得其特征值为-1;-1;5共三个.offcn4.（2016年下半年高中5〉已知三阶矩阵A=<56一3)(2)1-1011＞其特征向量a=-11112-1,10所对应的特征值为（）•A.-2B.2D.1+厉厂2、4.【答案】B.解析：设特征向量a=-1所对应的特征倩为心则型=加、、0丿5.（2017年上半年高中6〉1§A=,下列向量中为矩阵A的特征向量是（A.(1,^/2,
6、0)TB.(2,0,0)TC.(4,0,1FD.(0,0,1)T5.【答案】C.解析：令特征矩阵为0,得到陆-川=002-30-202-1〉由此可得有关&的方程（G+1X久一3）2=0,可得2=—1・将；1=3代入7-10-2'0z-30-20z-1-X3.0,化简得到f56-3、r厂4、厂2、-101t-2=2i-1i1、2T丿ioJkOJ又因为,所以几=2・10-1_■■X1000000_X3-=0,即丕=乃可任意取值,没有对应的特征向量•同理代入z=-l，得到x1=-x3^=0.取七为自由变量1,则对应的特征向量为（・1,0,1）T-oFFcn三、特征值特征向量主要考查知
7、识点总结矩阵的特征值和特征向量的概念与性质1.定义⑴设/为数域F上的川阶方阵，如果存在数域F上的数入和非零向量G使得则称入为/的一个特征值（特征根力而$称为一4的属于特征值入的一个特征向量.一％~aln⑵设A=[a.为”阶方阵，贝q矩阵久耳一4称为A的特征矩阵，其行列式称为A的特征多项式，记为/（a）,即/(z)=
8、z£-y4
9、=称/（z）=
10、z£・川=0为A的特征方程・2・性质（1）若入是Z的任一特征值，非零向量d为A的属于特征值入的特征向量，即满足Aq=zx门则必有久；一定是一护的特征值（*为正整数）;（2）若人是A的任一特征值，非零向量孑为A的属于特征值入的特征向量，若/（
11、x）=+4才1+•••+$为任一多项式，则有/亿）是/（4）的特征值;⑶若入是/的任一特征值，非零向量d为A的属于特征值人的特征向量，则AA7P-'APA/(A)A1IAX（4）如果W是一4的属于特征值岛的一个特征向曇那么$的任何一个非零倍数储也是/的属于特征值入的特征向量.即特征向量不是被特征值所唯一决定的.相反，特征值确实被特征向量所唯一决走的.一个特征向量只能属于一个特征值.oFFcn注：属于不同特征值的特征向量是线性无关的.3・矩阵特征值和特征向量的求法<1）
