2020版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数与函数的单调性教案理（含解析）新人教A版

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1、第2讲　导数与函数的单调性基础知识整合函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导：(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．1．(2

2、019·许昌模拟)函数f(x)＝的单调递减区间是(　　)A．(e，＋∞)B．(1，＋∞)C．(0，e)D．(0,1)答案　A解析　f′(x)＝，由x>0及f′(x)<0解得x>e.故选A.2．函数f(x)＝x3－ax为R上增函数的一个充分不必要条件是(　　)A．a≤0B．a<0C．a≥0D．a>0答案　B解析　函数f(x)＝x3－ax为R上增函数的充分必要条件是f′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立，所以a≤(3x2)min.因为(3x2)min＝0，所以a≤0.而(－∞，0)⊆(－∞，0]．故选B.3．当x>0时，f(x)＝x＋的单调减

3、区间是(　　)A．(2，＋∞)B．(0,2)C．(，＋∞)D．(0，)答案　B解析　f′(x)＝1－，令f′(x)<0，∴∴00，解得x>1.故选D.5．已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x>0时，f′(x)<，且f(－1)＝0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)

4、A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(0,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1,0)答案　B6．(2019·九江模拟)已知函数f(x)＝x2＋2ax－lnx，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．答案　解析　由题意知f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立，因为g(x)＝－x＋在上单调递减，所以g(x)≤g＝，所以2a≥，即a≥.故填.核心考向突破考向一　利用导数求函数的单调区间例1　(1)(2019·邯郸模拟)已知函数f(x)＝x2－5x＋2lnx，则

5、函数f(x)的单调递增区间是(　　)A.和(1，＋∞)B．(0,1)和(2，＋∞)C.和(2，＋∞)D．(1,2)答案　C解析　函数f(x)＝x2－5x＋2lnx的定义域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋＝＝>0，解得02，故函数f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)．(2)设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．答案　(－∞，－1)，(0，＋∞)　[－1,0]解析　∵f(x)＝x(ex－1)－x2，∴f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)

6、(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0.当x∈[－1,0]时，f′(x)≤0.当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．触类旁通当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间.即时训练　1.(2019·陕西模拟)函数f(x)＝(a>0)的单调递增区间是(　　)A

7、．(－∞，－1)B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案　B解析　函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝＝.由于a>0，要使f′(x)>0，只需(1－x)·(1＋x)>0，解得x∈(－1,1)．故选B.2．函数f(x)＝x＋2cosx(x∈(0，π))的单调递减区间为________．答案　解析　f′(x)＝1－2sinx，令f′(x)<0得sinx>，故

8、定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a(x>0)，①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，当0