14．2．1 平方差公式

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1、14．2．1平方差公式教学目标（一）教学知识点1．经历探索平方差公式的过程．2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．（二）能力训练要求1．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．2．培养学生观察、归纳、概括的能力．（三）情感与价值观要求 在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美．教学重点平方差公式的推导和应用．教学难点理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．教学方法探究与讲练相结合．通过计算发现规律，进一步探索公式的结构特征，在老师的讲解和学生的练习中让学生体会公式实质，学会灵活运用．教具准备投影片．教学过程Ⅰ．

2、提出问题，创设情境[师]你能用简便方法计算下列各题吗？（1）2001×1999（2）998×1002[生甲]直接乘比较复杂，我考虑把它化成整百，整千的运算，从而使运算简单，2001可以写成2000+1，1999可以写成2000-1，那么2001×1999可以看成是多项式的积，根据多项式乘法法则可以很快算出．[生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了．[师]很好，请同学们自己动手运算一下．[生]（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1）=20002-1×2000+1×2000+1×（-1）=20002-1=400000

3、0-1=3999999．（2）998×1002=（1000-2）（1000+2）=10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2=10002-22=1000000-4=1999996．[师]2001×1999=20002-12998×1002=10002-22它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？我们继续进行探索．Ⅱ．导入新课[师]出示投影片计算下列多项式的积．（1）（x+1）（x-1）（2）（m+2）（m-2）（3）（2x+1）（2x-1）（4）（x+5y）（x-5y）观察上述算式，你发现什么规律？运

4、算出结果后，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现．（学生讨论，教师引导）[生甲]上面四个算式中每个因式都是两项．[生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积．例如算式（1）是x与1这两个数的和与差的积；算式（2）是m与2这两个数的和与差的积；算式（3）是2x与1这两个数的和与差的积；算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积．[师]这个发现很重要，请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现．[生]解：（1）（x+1）（x-1）=x2+x-x-1=x2-12（2）（m+2）（m-2）=m2+2m-2m-2×2=m2-22（3）（2x+1）（2x-1）

5、=（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12（4）（x+5y）（x-5y）=x2+5y·x-x·5y-（5y）2=x2-（5y）2[生]从刚才的运算我发现：也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．[师]能不能再举例验证你的发现？[生]能．例如：51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12．即（50+1）（50-1）=502-12．（-a+b）（-a-b）=（-a）·（-a）+（-a）·（-b）+b·（-a）+b·（-b）=（-a）2-b2=a2-b2这同样可以验证：两个数的

6、和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．[师]为什么会是这样的呢？[生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了．[师]很好．请用一般形式表示上述规律，并对此规律进行证明．[生]这个规律用符号表示为：（a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明：（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．[师]同学们真不简单．老师为你们感到骄傲．能不能给我们发现的规律（a+b）（a-b）=a2-b

7、2起一个名字呢？[生]最终结果是两个数的平方差，叫它“平方差公式”怎样样？[师]有道理．这就是我们探究得到的“平方差公式”，请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式．（出示投影）两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．即：（a+b）（a-b）=a2-b2平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用．在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算（出示投影片）例1：运用平方差公式计算：（1）（3x+2）（3x-2）（2）（b+2a）（2a-b）（

8、3）（-x+2y）（-x-2y）例2：计算：（1）102×98（2）（y+2）（