应用泛函分析——论四大空间

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1、论四大空间1前言数学是将一类问题或事物高度抽象化，以一种严密的逻辑推导、总结和归纳出一类或一簇问题或事物的规律，并用抽象的数学语言进行描述。我们开始学习数学从自然数开始，先有了数的概念，即已经可以把事物抽象化为数，然后有了距离和大小的概念，进而有了运算。我们开始研究数与数的关系，然后引入了有理数、无理数和实数等一些列数类（数的集合），随着这些数类的引进，我们又要研究这些数类之间的关系，这是一个不断将研究对象特殊化，进而研究更高层次的规律的过程，这时引入函数，我们开始研究积分、微分和变分等问题。为了在更高层次研究函数或类似函数的集合体，我们开始研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。有限维

2、就成为他的一个个体，而泛函分析正是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具，四大空间又是泛函分析所研究的基础。2四大空间2.1线形空间定义：设E是非空集合，K是实（或复）数域。在E中定义加法：在E与K之间定义数乘：且满足八条运算规律：则称E是（数域K上的）线性空间（或向量空间）。在线性空间内无法比较大小，没有距离的概念。2.1距离空间定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有a）非负性：d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当x=y；b）对称性：d(x,y)=d(y,x)；c）三角不等式：d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z）　则称d为集合X的一个距离

3、（或度量）。称偶对（X，d）为一个距离空间，或者称X为一个对于距离d而言的距离空间。有了距离空间的概念我们就给线形空间引入了距离的概念，但是又缺少了线性空间所具有的线性运算。　2.2赋范线性空间定义:设X是数域K上的线性空间,若∀x∈X，都有一个实数‖x‖与之对应，使得∀x，y∈X,α∈K满足下列三条范数公理a）正定性：‖x‖≥0,‖x‖=0时当且仅当x=0；b）齐次性：‖αx‖=

4、α

5、‖x‖；c）三角不等式：‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖；则称实数‖x‖为x的范数，X是K上的赋范线性空间。任何赋范向量空间通过定义d(x,y)=

6、

7、y−x

8、

9、也是度量空间。(如果这样一个空间是完备的，我们称之为巴

10、拿赫空间)。例：曼哈顿范数引发曼哈顿距离，这里在任何两点或向量之间的距离是在对应的坐标之间距离的总和。赋范线性空间将度量空间进一步完善，我们可以进行大小的比较，使得我们许多设计长度的结论可以在赋范空间中得到反映。2.3内积空间内积空间的定义：　设是域上的线性空间，对任意，有一个中数与之对应，使得对任意；满足a)；＝0，当且仅当　；b)＝；c)；d)＝＋；则称是上的一个内积，上定义了内积称为内积空间。内积空间将一些几何的概念引入，这样就有了方向的相关概念例如相交、平行和垂直，同时它可以引出距离和范数的概念。泛函分析研究的主要对象就是实数域或复数域上的完备赋范线性空间，这类空间被称为巴拿赫空间，

11、巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间，而这空间就是一个完备的内积空间。3总结从四大空间的发展可以发现泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。