高中数学竞赛(00-06年)试题分类汇总——不等式

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1、专题四不等式一、选择题（每小题6分）1．（01全国）已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，二4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是A.2枝玫瑰花价格高B.3枝康乃馨价格高C.价格相同D.不确定()解：这是一个大小比较问题．可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为ｘ元、ｙ元，则由题设得6ｘ＋3ｙ＞24，①且4ｘ＋5ｙ＜22．②　问题转化为在条件①、②的约束下，比较2ｘ与3ｙ的大小．有以下两种解法：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解法1：为了整体地使用

2、条件①、②，令6ｘ＋3ｙ＝ａ，4ｘ＋5ｙ＝ｂ，联立解得ｘ＝（5ａ－3ｂ）／18，ｙ＝（3ｂ－2ａ）／9．∴2ｘ－3ｙ＝…＝（11ａ－12ｂ）／9．∵ａ＞24，ｂ＜22，∴11ａ－12ｂ＞11×24－12×22＝0．∴2ｘ＞3ｙ，选Ａ．解法2：由不等式①、②及ｘ＞0、ｙ＞0组成的平面区域如图1中的阴影部分（不含边界）．令2ｘ－3ｙ＝2ｃ，则ｃ表示直线ｌ：2ｘ－3ｙ＝2ｃ在ｘ轴上的截距．显然，当ｌ过点（3，2）时，2ｃ有最小值为0．故2ｘ－3ｙ＞0，即2ｘ＞3у，选Ａ．　说明：（1）本题类似于下面的198

3、3年一道全国高中数学联赛试题：已知函数Ｍ＝ｆ（ｘ）＝ａｘ２－ｃ满足：－4≤ｆ（1）≤－1，－1≤ｆ（2）≤5，那么ｆ（3）应满足（　　）．Ａ．－7≤ｆ（3）≤26　　Ｂ．－4≤ｆ（3）≤15Ｃ．－1≤ｆ（3）≤20　　Ｄ．－28／3≤ｆ（3）≤35／3　（2）如果由条件①、②先分别求出ｘ、ｙ的范围，再由2ｘ－ｙ的范围得结论，容易出错．上面的解法1运用了整体的思想，解法2则直观可靠，详见“刘康宁,平面区域问题,中数教学参考，2001，11［1］”．2．（03全国）已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy＝－

4、1，则函数4的最小值是（）A．BC．D．解：由已知得，故，而，故当时有最小值，故选(D)．1．（04全国）不等式的解集为（）A.B.C.D.解：原不等式等价于设解得。即。故选C。2．（05全国）使关于的不等式有解的实数的最大值是（）A．B．C．D．解：令则的最大值为。选D。3．（06全国）设，则的取值范围为（）A．B．C．　D．【答】（B）【解】因为，解得.由解得；或解得，所以的取值范围为.41．（04天津）若，且，则下列各式中最大的是（　C　）（A）　（B）（C）（D）2．（06天津）已知，，若，则与的大小

5、关系是（A　　）（A）　　　（B）　　（C）（D）不确定二、填空题（每小题9分）3．（01全国）不等式的解集为________________.解：从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得，或，或．　从而ｘ＞4，或1＜ｘ＜，或0＜ｘ＜1．4．（02全国）使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是　　　。解：原不等式可化为：（cosx-((a-1)/2)）2≤a2+(a-1)2/4.∵-1≤cosx≤1,a<0,a-1/2<0,∴当cosx=1时，函数y=(cos

6、x-(a-1)/2)2有最大值(1-(a-1)/2)2，从而有(1-(a-1)/2)2≤a2+(a-1)2/4，整理得a2+a-2≥0,∴a≥1或a≤-2.又a＜0,∴.5．（05天津）已知函数f(x)是定义在(－∞，3)上的减函数，且对于x∈R，f(a2－sinx)≤f(a＋1＋cos2x)恒成立，则实数a的取值范围是_________________．解：．由已知a＋1＋cos2x≤a2－sinx≤3对x∈R恒成立，即对x∈R恒成立，解不等式组可得．6．（03全国）设≤x≤5，证明不等式．解：∵(a＋b＋

7、c＋d)2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2(ab＋ac＋ad＋bc＋bd＋cd)≤4(a2＋b2＋c2＋d2)∴　(当且仅当a＝b＝c＝d时取等号)5分4取，则15分∵不能同时相等∴。12．（首届中国东南地区数学奥林匹克）已知不等式对于恒成立，求a的取值范围。解：设，则从而原不等式可化为：即，原不等式等价于不等式（1）（1）不等式恒成立等价于恒成立。从而只要。又容易知道在上递减，。所以。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m4