高二数学选修4-4教案05曲线的参数方程

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1、高二数学选修4-4教案05曲线的参数方程教学目标：正确理解曲线参数方程的概念；能准确地选収参数求曲线的参数方程教学重点：参数方程的概念；教学难点：参数r可以是有物理、几何意义的变呆，也可以是变数；建立参数t与x,y的关系教学过程一、问题引入设炮弹的发射角为发射的初速度为勺，求弹道曲线的方程（不计空气阻力）因为弹道曲线是炮弹总行的轨迹，所以它上面的各个点都表示炮弹发射后某个时刻的位置。当这个时刻确定后，炮弹的位置就确定了。収炮口为原点，水平方向为兀轴，建立直角处标系。设炮弹发射后的位置在M（x,y）,因为炮弹在Ox方向是以

2、v0cos^z为速度的匀速直线运动，在Oy方向是以心sinQ为初速的竖直上抛运动。按匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式，得x=v0coscr•r,<12yioSinK-尹，g是重力加速度。课木中炮弹的0行轨迹是学生在物理学习中极为熟悉的“斜抛运动”的一个实例.教学中不必过多解释，重点在于利卅它，从数学的角度说明力学屮的运动方程就是数学中的参数方程.它们是实际研究的需要，便于表示两个变量之间的联系.同时由于参数f有一定取值范围，导致x、y也有一定的取值范围.在具体研究中，参数/可以是有物理、几何意义的变量，也可以是变数.

3、关键是r为点&、y）能否构成对应关系.同时，学生应认识到引进参数f可以起到减少变量个数的作用，给研究多变量问题以一个新的方法.二、数学构建1、曲线的参数方程-般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标X、y都是某个变数t的函数，即y=/(O并且对于『每一个允许值，山方程组所确定的点M（X,,y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系兀、yZ间关系的变数叫做参变数，简称参数.它可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数.注意：参数方程的特点是在于没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关

4、系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系.2、曲线的普通方程相对于参数方程來说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程.三、知识运用【例1】如图所示，以原点为圆心，分别以a,b（a>b）为半径作两个圆。点Q是大圆半径OP与小圆的交点，过点P作PN丄0兀，垂足为N,过点Q作QM丄PN,垂足为M。求当半径OP绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。解：设点M的坐标是gQ是以O兀为始边,参数，那么x=ON=OPcosa,y=NM=OQsina・也就是x=acosa,y=bsina.这就是所求的M点的轨

5、迹的参数方程。X本例给出了椭圆的一个参数方程，两个圆分别叫做椭圆的大辅助图和小辅助图，椭圆长轴和短轴分別是它们的直径.其中Q叫做椭圆上点的离心角.椭圆上只有个别点（如椭鬪的顶点）的离心角与中心角相等.一般点的中心角与离心角不同.两个点离心也的羌与中心也的羌也不同.因Q与椭圆上的点对应，椭圆上点可表示为P（flcosa>bsina）,起到减少变量个数的效果.【例2】求经过点M（）（兀（）,儿），倾斜角是Q的直线/的参数方程。解：设M（x,y）是直线上任意一点，经过M作y轴的平行线，经过M（）（兀,y（））点作x轴的平行线，

6、两直线相交于点Qo规定直线/向上的方向为正方向。设M.M=t,取/为参数。X=+/COS%则有0.y=yG+rsincr.这就是所求直线/的参数方程。一条直线规定了方向和原点后，只耍一个变量就可以表示直线上点的位置.（例如X轴）当直线位于平面内时•，表示直线上点的位置，除了一个变量外，还需对直线,X=+fCOSQ本身位置的刻画，直线参数方程，＜•，中（X,儿）及&就是对直线y=yo+fsina自身位置的描述，r是对宜线上点的位置的描述.兀=5+〒（=5+為【例3】2与f~V,是否表示同一•条直线.小1y=-2+ry=-

7、2+—tL2此例可使学生明确以下几点：①线的参数方程可能不唯一.②两个方程均表示直线x-V3y-5-2V3=0.两个方程中的参数的意义不同,取和同的f,对应的点可能不同，但f取全体实数时，所对应的点集相同.x=x+at③判断方程彳,中r的几何意义是否为定点仏，yo）到动点P（x,y）的数卜=儿+如量，有二个原则，其一为a2+b2=，其二是feO,这是因为Q为宜线倾角时，必有sirTd+cosP=1及sinaN0・叫二二上“B两点间距离为松E—上述方程中通过换元心丄__（当妲）），可知广的几何意义就是定点仇，为倒动点（

8、X,刃的数方2⑤通过计算：=—=-,使学生知道（也，沟）必为直线上的点，2等于直x-xQataa线的斜率.Y=v+（if疑难解析:方程~°,（/为参数）中兀0、）呛及0、b的几何意义，及如何将它y=y（）+bt化为以定点血、为倒动点（x,y）的数量/为参数的参数方程是学牛•学习的疑难之处.可1无=1+4/，令r=0,