高一数学竞赛培训教材

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1、高中思维训练班《高一〔学》第1讲——集合与函数(上)『本讲要点』：复杂的集合关系与运算、函数定义的深化『重点掌握』：函数的迭代1.定义M与P的差集为M-P=｛x

2、xWM且x不GP｝，若A二｛y

3、y=x2｝B=｛x

4、-3WxW3｝，再定义MAN=(M-N)U(N-M),求AAB2.集合A二｛1,2,3｝中，任意取出一个非空子集，计算它的各元素Z和.则所有非空子集的元素Z和是,若A二｛1,2,3,…,川，则所有子集的元索Z和是3.己知集合人十血宀，©｝,B=,其屮％

5、3=｛均,為｝,®+為=1°.且中的所有元素Z和为124,求集合A、B.■7(84)(本讲重点迭代法)*4.函数f(n)=[n~3n>00I/(/(/?+5)),n<10005.练习：定义：fn(x)=/(/(・・・/(兀)・・・))丿eN8.已知f(l)=-li当n>l时冇——=2(n+l)o求f(n)(nGN+)(本讲重点顺序拼凑法)5./(w)./(〃一1)9.求集合A=｛1,2,3,•••,10｝所有非空子集的兀素Z和10.已知不等式ax2+bx+c>0,的解集是｛x

6、m0,

7、求不等式cx2+bx+a<0的解集作业答案:7.8,8.1/n2+3n+l,9.略，10.xl/m答案：1.【解】A｛x

8、x20｝B二｛x

9、-3WxW3｝A-B=｛x

10、x>3｝B~A=｛x

11、-3^x<0)AAB=｛x

12、-3^xVO或x>3｝2.【解】K分析U已知｛1,2,…,加的所有的子集共有2”个•而对于V/e｛1,2,显然｛1,2,…，川中包含i的子集与集合｛l,2,・・・，i—l,Z+l,・・・/｝的子集个数相等•这就说明d在集合｛1,2,…/｝的所有子集中一共出现2小次，即对所有的

13、I求和，可得Sn=(立i).集合｛1,2,…m｝的所有子集的元索之和为2心(1+2+…+力二2“一】•四凹/=12二"+1)・2壮3.[解]•・•％

14、f⑴=l,f(x+y)=f(x)+f(y)+xyo求f(x)(本讲重点顺序拼凑法)『课后作业』：7.当nN100t,f(n)=n-3;当n<10吋,f(n)=f[f(n+5)].求f(7)(本讲重点迭代法)此时有A={1,3,5,9},B={1,9,25,81}・若诟=9,即色=3,此时应有①=2,则AUB中的所有元素之和为100工124.不合题意.综上可得，A={1,3,5,9},3={1,9,25,81}・5【解】解:设f(x)二ax+b(aHO),记f{f[f—f(x)]}=fn(x),贝ljkJ

15、Vn次f2(x)=f[f(x)]=a(ax+b)+b=ax+b(a+l)f3(x)=f{f[f(x)]}=a[a2x+b(a+1)]+b=a(xeN+)x+b(a2+a+1)依次类推有：fio(x)二a'°x+b(a9+a"a+l)=a10x+色°——-~-1-arti题设知：aIO=1024且W_八)二]0231一a.♦.a二2,b二1或a二一2,b二一3・•・f(x)二2x+1或f(x)二一2x—37.解:令y=l,得f(x+l)=f(x)+x+l再依次令x=l,2,…，n—1,有f(2)=f(l)

16、+2f(3)=f(2)+3f(n-l)=f(n-2)+(n-l)f(n)=f(n—l)+n依次代入，得高中思维训练班《高一〔学》f(n)=f(l)+2+3+-+(n-l)+n=Z7(H+1}第2讲——函数(下)『本讲要点』：1.单调函数不等式的解法2.根据抽象的函数条件拼凑出特定值的方法3•抽象函数的周期问题Y*1例f(X)在X〉O上为增函数,A/(-)=/(%)-f(y).求：y⑵若/(6)=1,解不等式/(X+3)-/(-)<2x1例f(x)对任意实数x与y都有f(x)+f(y)=f(x+y)+2,

17、当x>0时,f(x)>2(1)求证:f(x)在R上是增函数(2)若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3)<32练f(x)是定义在x>0的函数，且f(xy)=f(x)+f(y);当x>l时有f(x)l±是增函数(3)在x>1上，若不等式f(x)+f(2-x)<2成立，求x的取值范围4例几个关于周期的常见的规律：+a)=f(x)f(x+a)=-/(x)1/U)/(兀+