次不等式及其解法

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1、1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．1．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集

2、ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x

3、xx2}{x

4、x1＜x＜x2}∅∅R{x

5、x≠－}［思考探究］如何解a<0的一元二次不等式？提示：对于a<0的一元二次不等式，可先利用不等式的性质将二次项系数转化为正数求解.2．用一个程序框图来表示一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的求解过程：1．不等式3x2－7x＋2＜0的解集是()A．{x

6、＜x＜2}B．{x

7、x＜或x＞2}C．{x

8、－2＜x＜－}D．{x

9、x＞2}解析：由3x2－7x＋2＝(3x－1)(x－2)知方程3x2－7x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝2，又函数f(x)＝3x2－7x＋

10、2的图象开口向上，所以不等式3x2－7x＋2＜0的解集是{x

11、＜x＜2}．答案：A2．设二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x

12、－1

13、x2-2x-3＞0},B={x

14、x2+ax+b≤0},若B=R,A∩B=(3,4］,则a+b等于()A.7B.-1C.1D.-7解析：A=（-∞,-1）∪(3,+∞),∵A∪B=R,A∩B=(3,4］,则B=［-1，4］.∴-1，4为

15、方程x2+ax+b=0的两根，∴a=-(-1+4)=-3,b=-1×4=-4,∴a+b=-7.答案：D4．不等式2≤x2－2x<8的解集是________．解析：原不等式等价于由x2－2x≥2，得x≥1＋或x≤1－，由x2－2x<8，得－2

16、－2

17、3a

18、3a

19、解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c<0(a>0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的两根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．2．对于解含有参数的二次不等式，一般讨论有3种情况(1)讨论二次项的系数a，分a>0，a＝0，a<0三种情况；(2)讨论判别式Δ，分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三种情况；(3)比较两根x1，x2的大小，分x1>x2，x1＝x2，x10；(2)ax2－(a＋1)x

20、＋1<0(a∈R)[思路点拨][课堂笔记](1)两边都乘以－3，得3x2－6x＋2<0，因为3>0，且方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－，x2＝1＋，所以原不等式的解集是{x

21、1－1；若a<0，则原不等式等价于(x－1)>0⇒x<，或x>1；若a>0，则原不等式等价于(x－1)<0.(*)①当a＝1时，＝1，所以不等式(*)解集为∅；②当a>1时，<1，所以(*)⇒1，所以(*)⇒1

22、x>1}；当0

23、时，解集为；当a＝1时，解集为∅；当a>1时，解集为.1.实际应用问题是新课标下考查的重点，突出了应用能力的考查，在不等式应用题中常以函数模型出现，如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型．解题时要理清题意，准确找出其中不等关系再利用不等式解法求解．2．不等式应用题一般可按如下四步进行：(1)阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系．(3)解不等式．(4)回归实际问题．某种商品，现在定价p元，每月卖出n件，设定价上涨x成，每月卖出数量减少y成，每月售货总金额变成现在的z倍．(1)用x和y表示z；(2)设y＝kx

24、(0＜k＜