概率论与数理统计课件(I)

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1、前面，我们讨论了参数的点估计.它是用样本算的一个值去估计未知参数.但是，点估计仅仅给出了未知参数的一个近似值，它没有反映出这种估计的精度.区间估计正好弥补了点估计的这个不足之处.可信度：越大越好估计你的年龄八成在21－28岁之间被估参数可信度范围、区间区间：越小越好引例在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的最大似然估计为1000条.实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000条.为此，我们希望确定一个区间来估计参数真值a使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值.湖中鱼数的真值[]这里所说的“可靠程度”是用概率来

2、度量的b区间估计的精度要高.§7.4正态总体的区间估计设X1，X2,…，Xn为来自总体XF(x;)的一个样本，是未知参数.若对于给定的（0<<1），存在两个统计量使得对任意的满足一置信区间的定义则称随机区间为参数的置信水平(confidencelevel)为1-的置信区间(confidenceinterval).置信水平又称为置信度，置信区间的左端点又称为置信下界，置信区间的右端点又称为置信上界.1.要求以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率要尽可能大.2.估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度尽可能短，或能体现该要求的

3、其它准则.即要求估计尽量可靠.可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.(1)从未知参数的某个点估计出发，构造与的一个函数W(,),使得W的分布已知，且不依赖于未知参数该函数通常称为枢轴量.二构造置信区间的方法1.枢轴量法(3)利用不等式运算，将不等式(2)适当选取两个常数a,b，使对给定的，有等价变形为即此时参数的置信水平为1-的置信区间为2.如何确定a,b我们总是希望置信区间尽可能短.任意两个数a和b，只要它们的纵标包含f(u)下95%的面积，就确定一个95%的置信区间.在概率密度为单峰且对称的情形，当a

4、=-b时求得的置信区间的长度为最短.a=-b即使的概率密度不对称的情形，如分布，F分布，习惯上仍取对称的百分位点来计算未知参数的置信区间.三正态总体均值与方差的区间估计~N(0,1)选的点估计为求参数的置信水平为的置信区间.例1设X1,…,Xn是取自的样本，解：寻找一个待估参数和估计量的函数，要求其分布为已知.有了分布，就可以求出Z取值于任意区间的概率.对给定的置信水平对于给定的置信水平,根据Z的分布，确定一个区间,使得Z取值于该区间的概率为置信水平.使对给定的置信水平使从中解得的一个置信水平为的置信区间置信区间的长度为说明：(2)置信区间的中心

5、是样本均值(3)置信水平越大，越大，因此置信区间越长(4)样本容量n越大，置信区间越短置信区间的长度为(1)L越小，置信区间提供的信息越精确因方差未知，则不是统计量.想法：用样本均方差S代替σ.于是取对给定的置信水平,确定分位数使即均值的置信水平为的置信区间.即为从中解得例2有一大批糖果.现从中随机的取16袋，称得重量(以克记)如下：设每袋糖果的重量近似服从正态分布，试求总体均值的置信水平为0.95的置信区间506508499503504510497512514505493496506502509496解：这是单总体方差未知，总体均值的区间估计问

6、题.根据给出的数据，算得这里均值的置信水平为的置信区间为均值的置信水平为0.95的置信区间为取枢轴量从中解得(2)方差的置信水平为的置信区间.对给定的置信水平,确定分位数使方差的置信水平为的置信区间为标准差的置信水平为的置信区间.例3求例2中总体标准差的置信水平为0.95的置信区间解：根据给出的数据，算得这里标准差的置信水平为的置信区间.代入具体数值算得因此所求置信区间为由于所得置信区间包含0，实际中，认为采用这两种催化剂所得的得率的均值没有显著差别.因此所求置信区间为正态总体参数的置信区间总体个数待估参数条件枢轴量置信区间一个总体个数待估参数条

7、件枢轴量置信区间二个作业7.13;7.18;7.19;7.25;