高考数学试卷 (4)

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1、2008高考数学压轴试题集锦（八）41.OAPBxy如图，和两点分别在射线OS、OT上移动，且，O为坐标原点，动点P满足.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求P点的轨迹C的方程，并说明它表示怎样的曲线？（Ⅲ）若直线l过点E（2，0）交（Ⅱ）中曲线C于M、N两点，且，求l的方程.42.已知函数。(1)若函数f（x）、g（x）在区间[1，2]上都为单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；(2)a、b是函数H（x）的两个极值点，a

2、切实数，函数在上恒有，求实数的取值范围．44.已知椭圆的中心为原点，点是它的一个焦点，直线过点与椭圆交于两点，且当直线垂直于轴时，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线，使得在椭圆的右准线上可以找到一点，满足为正三角形．如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．45.已知数列满足，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和；（Ⅲ）设，数列的前项和为．求证：对任意的，．参考答案：41解：（Ⅰ）由已知得…………4分（Ⅱ）设P点坐标为（x，y）（x＞0），由得，…………5分∴消去m，n可得，又因8分∴P点的轨迹方程为它表示以坐标原点为中心，焦点在轴上，且实轴长

3、为2，焦距为4的双曲线的右支…………9分（Ⅲ）设直线l的方程为，将其代入C的方程得即易知（否则，直线l的斜率为，它与渐近线平行，不符合题意）又设，则∵l与C的两个交点在轴的右侧∴，即又由同理可得…………11分由得，∴由得由得消去得，解之得：，满足…………13分故所求直线l存在，其方程为：或…………14分42.43解:(Ⅰ)当时，，则．……………………………2分当时，．……………………………3分…………………………4分(Ⅱ)当时，．………5分(1)当，即时，当时，，当时，，在单调递增，在上单调递减，．……………………………7分(2)当，即时，，在单调递增．，……………………

4、………9分……………………………10分(Ⅲ)要使函数在上恒有，必须使在上的最大值．也即是对满足的实数，的最大值要小于或等于．………………11分（1）当时，，此时在上是增函数，则．，解得．………①………………12分（2）当时，，此时，在上是增函数，的最大值是．，解得．………②……………………………13分由①、②得实数的取值范围是．……………………………14分44解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：，则．……①……1分当垂直于轴时，两点坐标分别是和，，则，即．………②…3分由①，②消去，得．或（舍去）．当时，．因此，椭圆的方程为．……………………………5分（Ⅱ）设存在满足条件的直线．(

5、1)当直线垂直于轴时，由（Ⅰ）的解答可知，焦点到右准线的距离为，此时不满足．因此，当直线垂直于轴时不满足条件．……………………………7分（2）当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为，则直线的方程为．由，设两点的坐标分别为和，则，．．……………………9分又设的中点为，则．当为正三角形时，直线的斜率为．，．…………………………11分当为正三角形时，，即＝，解得，．…………………………13分因此，满足条件的直线存在，且直线的方程为或．……14分45解：（Ⅰ），，……………3分又，数列是首项为，公比为的等比数列．……5分，　即.　　　　　　　　　　………………6分（Ⅱ）．．……………

6、…9分（Ⅲ），．……………………10分当时，则．，对任意的，．………………………14分