机械可靠性设计0702概率论与数理统计复习

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1、机械可靠性设计南京航空航天大学机电学院于明礼第二章概率统计基础知识§2.1事件、概率与概率运算规则§2.2几种常用的概率分布§2.3分布代数和正态分布代数一、随机事件、频率与概率§2.1事件、概率与概率运算规则必然现象自然/社会现象随机现象单次试验结果不确定，大量试验结果具有某种规律性确定性现象不可能现象随机试验样本空间样本点可以在相同条件下重复进行每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果进行一次试验之前不能确定哪一种结果会出现具有上述三个特点的试验称为随机试验随机试验E所有可能结果组成的集合称为E的样本空间

2、记为Ω样本空间中的元素，即试验的每个结果，称为样本点随机事件基本事件随机试验E的样本空间Ω的子集称为E的随机事件，简称事件每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称为这一事件发生。随机试验中最简单的、不能再分的随机事件，即只包含一个样本点的单点集称为该随机试验的基本事件(2.1)如何描述事件A出现的可能性的大小？定义:设A是某试验下的一个事件，将此试验在相同的条件下重复进行n次，若其中事件A出现nA次，称nA为A发生的频数;称fn(A)为事件A在n次试验中出现的频率，频率与概率大量实验证实，重复试验的次数n逐渐增大时，

3、频率fn(A)逐渐稳定于某个常数，我们将频率fn(A)的稳定值p定义为P(A)，并将它称为事件A概率，频率与概率频率具有以下基本性质3.若是两两不相容的事件(2.2)1.2.频率与概率（2）（规范性）P(Ω)=1（3）（可列可加性）若A1，A2…为Ω中两两不相容事件，则：由频率的性质可推得统计概率的定义，且具有如下基本性质：（有限可加）若A1，A2…，An为Ω中两两不相容事件，则。（1）（非负性）P(A)≥0，对任意A∈Ω二、概率运算规则(1)互补定理：(2.3)(2)加法定理：对任意两事件A、B，有(2.4)该公式可推广到任意

4、n个事件的情形；(3)乘法定理：两事件A、B独立(2.5)(2.6)对任意两事件A、B，有概率运算规则(4)条件概率，全概率公式与贝叶斯公式条件概率在实际问题中，除了考虑事件A发生的概率，有时还需考虑在“事件B已发生”的条件下，事件A发生的概率。由于增加了新的条件“事件B已发生”，所以后者的概率一般来说不同于前者，我们称之为事件B发生的条件下A事件发生的条件概率。概率运算规则对于一般古典概型问题，基本事件总数为n，B所包含的基本事件数为m，AB所包含的基本事件数为k记为：全概率公式式(2.7)就称为全概率公式。设A1，…,An是

5、Ω的一个划分，且则对任何事件BΩ有当直接计算P(B)较困难，若求得其在各子事件的概率可以求出P(B).例2-1.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。解：设B表示买到一件次品A1表示买到一件甲厂的产品A2表示买到一件乙厂的产品A3表示买到一件丙厂的产品贝叶斯公式：式(2.8)就称为贝叶斯公式。设A1，…,An是Ω的一个划分，且P(Ai)>0,(i＝1，…，n)，则对任何事件BΩ，有例2-2商店

6、论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱。问这一箱含有一个次品的概率是多少？设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的。B0,B1,B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品解：由已知条件易知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1求：由Bayes公式:例2-3某带式运输机由电动机、减速器、工作机（卷筒）三部分组成。这三部分中任何一部分发生故障，将使整个系统发生故障。已知它们的可靠度依次为0.98、0.9

7、4、0.92。试问如果系统发生故障，哪一部分出故障的引起的可能性最大？用事件A表示整个系统发生故障；用E1、E2、E3分别表示电动机、减速器、工作机发生故障。解：由题意知，这三部分出故障的事前概率依次为事件E1、E2、E3只要发生一个，事件A必然发生。故由贝耶斯公式，可分别求得在系统发生故障时，事件E1、E2、E3发生的条件概率随机变量§2.2几种常用分布为了全面地研究随机试验的结果，揭示随机现象的统计规律性，有必要引入随机变量的概念。设E为随机试验，其样本空间为Ω={e}是基本事件的集合，若对每一个基本事件或样本点eΩ有一个

8、实数X(e)与之对应，这样就得到一个定义在Ω上的单值实函数X(e)，称X(e)为随机变量，简记为X。引入随机变量后，任何随机事件均可通过随机变量来表示。随机变量建立随机变量的概念后，就可以把一个个孤立的随机试验结果（事件）通过随机变量联系起来，去研究它们的概率分