2013 年自主招生专题第一讲 集合与命题

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1、2013年自主招生专题第一讲：集合与命题第一部分近年来自主招生数学试卷解读近年来名牌高校自主招生考试竞争愈演愈烈，了解自主招生考试特点，合理安排日常学习，积极备考对各位考生意义重大。下面简要分析一下自主招生数学考试的特点，并对一些有代表性的试题作简要分析。自主招生试题特点：试题总难度高于高考，多数题目达到高考中高难度，部分题目达到竞赛难度，试题灵活多变，毫无规律可寻，但各个学校的试题已经开始形成各自的风格。总的来说，函数、方程、数列、不等式、排列组合等内容是高频考点。应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，中等难度题目

2、分数比例大约60%左右。2、联系教材，适度拓宽知识面：注意课本上的自主.探究和阅读材料，对和大学数学联系紧密的内容进行深度挖掘。自主招生中，有不少试题都来源于这些材料。3、掌握竞赛数学的基本知识和解题技巧，着重培养数学思维能力。4、考前进行模拟训练，熟悉每个高校的命题特点，掌握答题技巧。高频考点一览：不等式均值不等式与柯西不等式的综合运用，凸函数的性质，证明不等式的常用方法杂题常见的组合数学问题（组合计算、组合构造、博弈问题、染色问题）解析几何解析几何的基本运算、取值范围与最值问题以及探索性问题平面几何平面几何的基本计算和证

3、明、三角形五心问题、图形变换函数函数的奇偶性、周期性、单调性的证明与应用三角函数一些具有技巧性的三角变换，三角恒等式和简单的三角不等式问题立体几何复杂的空间几何构型，空间范围内的旋转对称等变换问题排列组合比较具有技巧性的排列组合问题和一些复杂的概率问题方程和多项式高次方程，无理方程的技巧性处理，一些简单的多项式知识数列非等比等差数列的递推公式、通项公式、求和公式的常见解法一、试题特点分析：1.突出对思维能力和解题技巧的考查。11关键步骤提示：1.注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。关键步骤提示：11

4、一、应试和准备策略1.注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学生平时要把基础知识打扎实。剩下的就是个人的现场发挥。2.注意适当补充一点超纲内容如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如矩阵，行列式等也不可忽视。3.适当做近几年的自主招生的真题俗话说，知己知彼，百战百胜。同学们可适当地训练近几年自己所考的高校自主招生的试题，熟悉一下题型和套路还是有益的。4.注重知识的延伸加深复旦，交大，清华等全国重点院校自主招生试题比高考试题稍难，比数学竞赛试题又稍简单。有些问题稍有

5、一定的深度，这就要求考生平时注意知识点的延伸加深。例如2008年复旦自主招生的第88题：关键步骤提示：上式＝此题若是知道三次方程的韦达定理，则容易解决。但平时同学们对二次方程的韦达定理很熟悉，对三次方程的韦达定理则比较陌生。11又比如，柯西不等式可以解决许多不等式问题，但由于目前上海高考不考，所以很多高中生对此此不等式并不十分熟悉。但柯西不等式其实应用得非常广泛，我们将在不等式一讲中将会介绍它。总之，同学们若是注意一些知识点的延伸和加深，考试时必定会有一种居高临下的感觉。第二部分：集合与命题一、知识补充：容斥原理基本公式:(

6、1)card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；(2)card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)问题：开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？解：设A＝{参

7、加游泳比赛的同学}，B＝{参加田径比赛的同学}，C＝{参加球类比赛的同学},则card(A)=15，card(B)=8，card(C)=14，card(A∪B∪C)=28,且card(A∩B)=3，card(A∩C)=3，card(A∩B∩C)=0,由公式②得28＝15＋8＋14－3－3－card(B∩C)+0,即card(B∩C)=3,所以同时参加田径和球类比赛的共有3人，而只参加游泳比赛的人有15－3－3＝9(人)11二．抽屉原理抽屉原理的基本形式定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其

8、中至少有两个元素。证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。例1．已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明：至少有两个点之间的距离不大于.分析：5个点的分布是任意的。如