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1、第九章欧氏空间习题一、填空题1.设V是一个欧氏空间，^GV,若对任意7/GV,都有©77)=0,则§=o2.在料维欧氏空间V屮，向量&在标准正交基叶,叶2,卜的坐标是(西,兀2,…，兀J，那么D=Q］內+如兀2+如兀3二也3.若A=(aij)3x3是一个正交矩阵,则方程组a2}x}+a22x2+如兀3=E的解-10、20，则03,为14•已知三维欧式空间V中冇一组基(坷,。2，禺)，其度虽矩阵为4=-1、0向量0=2少+3a2-禺的长度为on2(21)5•设口「中的内积为(a,»=a'A0,A=则在此内积
2、之下的度量矩阵V丄丿为。6•设ax—(0,—1,1),a2—(2,1,—2),0—kax+也，若0与&?正交，则k=□‘200、7.若欧氏空间V在某组基下的度最矩阵为031,某向最在此组基下的坐标为(01L(1,1,1),则它的长度为，在此基下向量(1丄1)与向量(1,-1,1)的夹角为O8.在欧氏空间中，若线性相关，且
3、创=2,
4、0
5、=3,贝iJ(q,0)o‘110、9./!=1k0是度量阵，则£必须满足条件。,00k_2,10.线性空间在不同基下的过渡阵、线性变换在某组基下的矩阵、欧氏空间的度量阵这三类
6、矩阵中，可以为退化阵的是。11.在欧氏空间/?'中，向量6r=(l,0,-l),/?=(0,1,0),那么(％0)=a=o12.两个有限维欧氏空间同构的充要条件是■，7.已知A是一个正交矩阵，那么A"=,
7、A
8、2=o8.已知A为〃阶正交阵，且
9、A
10、<0,则
11、a=。9.实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此的。10.设X=（1,1,0,0）」=（1,0,0,1）*,则X与Y的夹角e=O11.在〃维欧氏空间V中，料级矩阵人是V某个基的度量矩阵的充要条件是o二、判断题1•在实线性空间R2屮，对向量Q=（X],
12、兀2），0=（必*2），定义（&,0）=西）[+兀2旳+1，那么疋构成欧氏空间（）2.在实线性空间R"中,对于向量4=（时2，・・・4），0=（%优,…如,定义（a,0）=cib,则川构成欧氏空间。（）3.…、5是欧氏空间"的一组基，对于V中任意向量a、p,均有（Q,0）=兀J+兀2）'2+・・・+£几，（（州，兀2「・心），01*2,…，几）分别是在此基下的朋标）），则此基必为标准止交基。（）4.欧氏空问疋中的线性变换可以将椭圆映射成圆。（）5.V与W均欧氏空间且同构，则它们作为线性空间也必同构。（）
13、6.设V是一个欧氏空间，
14、创=
15、0
16、,则Q+0与Q—0正交。（）7.设V是一个欧氏空间，并且（。,0）=0,则弘0线性无关。（）8.若厂都是欧氏空间V的对称变换，则er也是对称变换。（）9.欧氏空间中，a（x-}-y）=（2x+y,x-2y）为对称变换。（）7TTT10.CT是欧氏空间V的线性变换，V中向量Q,0的夹角为㊁，而8,砂的夹角为亍，则o■不是V的正交变换。（）11.斫爲,•••,£“是72维欧氏空间的一组基，矩阵4=（坷J“xj其小。"=（©•,£•），则A是正定矩阵。（）4.欧氏空间Rn屮任意
17、一个正交向最组都能扩充成一组正交基（）5.若T是正交变换，则T保持向量的内积不变（）6.正交矩阵的行列式等于1（）7.欧氏空间U上的线性变换b是对称变换的充要条件为cr关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。（）8.设A与B都是z?阶正交矩阵，则A3也是正交矩阵。（）9.在欧氏空间V中，若向量Q与自身正交，则4=0。（）4.设貝是斤维欧氏空间V的正交变换，则夬在V任意基下的矩阵是正交矩阵。（）5.设是n维欧氏空间V的两个正交子空间且V=V1+V2,则U=K㊉岭。（）6.实对称矩阵A的任意两个特征向量都正交。（）三
18、.选择题1.关于欧儿里得空间，卞列说法正确的是（）（A）任一线性空间都能适当定义内积成为欧几里得空间；（B）欧几里得空间未必是线性空间；（C）欧儿里得空间必为实数域上的线性空间；（D）欧儿里得空间可以为有理数域上的线性空间。2.设％0是相互正交的77维实向量，则下列各式中错误的是（）（A）6Z+0=Ct+〔0「（B）6Z+0=CC—/3^（C）a-p2=+
19、/?
20、2（D）a+0=a+
21、0
22、3.对于〃阶实对称矩阵4,以下结论正确的是（）（A）一定有几个不同的特征根；（B）存在正交矩阵P,使P'APPfAP成对
23、角形；（C）它的特征根-•定是整数；（D）属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交4.设b是〃维欧氏空间V的对称变换，贝IJ（）（A）o•只有一组刃个两两正交的特征向量；（B）er的特征向量彼此正交；（C）o•有斤个两两正交的特征向量；（D）CF冇斤个两两止交的特征向fi<=>CF冇n个不同的特征根。5.0=（马卫2，・・・,陽），0=（勺厶,…,勺）,定义：（a,/?）=k}afy+k2a2b2+•••
