九年级数学上册264解直角三角形的应用求锐角三角函数值的策略素材（新版）冀教版

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1、求锐角三角函数值的策求锐角三角函数值是锐角三角形函数的重要内容，求锐角三角函数值的方法较多，解决时，要根据不同的已知条件，选择灵活的解题方法。一、利用定义求解例1、三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sina的值是()(A)2(B)-(0-435分析：由正方形网格可知角□的对边的长为3,邻边的长为4,要求sina,只要根据勾股定理求出三角形的斜边，再根据三角函数的定义计算即可.解：设a的对边为邻边为b,斜边为c,则沪3,b二4,所以c=732+42=5,所以sina=-=-f选(C).c5评注：解决这类问题的思路是依据图形确定三角形的三边的长，然后直接根据定义进

2、行求值.二、设参数求解4例2、在厶ABC屮,ZG90°,sin^-,求tanS的值.54分析：正切函数的定义，sin/—匕二一，可设AC二4k,AB二5k,再利用勾股定理，求出AB5AB=3k,根据正切函数的定义可求出tard的值。AC4解：在△肋C中，Z6=90°,sin佶——二一，则设AO4k,AB二5k,由勾股定理可求，AB5.BC3BC-J—AC^=3k9所以tanA==—.AC4评注：在直角三角形中，己知一个锐角的一个三角函数值，就可知道与此三角函数值有关的边的比值，若知道两条边的比值，就可求出与之对应的三角函数值，不需要知道具体的边反，所以当已知条件为某个

3、角的三角函数值，求其它三角函数值时，可设参数表示出边长,图2然后再利用三角函数的定义求解。三、等角代换法例3、如图2,在矩形中，DELAC于E,设ZJ^=ZACD,且M=3,加匕1,贝ijtanZBAC等于多少分析：要求tanZBAC需求DE、朋的长，但计算比较繁，而RtAABC中的边易求出，而由条件易得ZADE=ZBAC,所以只需求出tanZBAC即可。解：在矩形ABCD'V,DELAC于所以ZDEA二ZB二90°,BC二AD二3,由AD〃BC,得ZBC4DAE二ZACB,所以ZADE二ZBAC,所以tanZBAC^——二一。AB3评注：在一个图形中有多个直角三角形

4、吋，当所求的角的三角函数值计算比较麻烦或不易解决时，可考虑等角代换。四、化“斜”为“直”法AC上有一点E,例4、如图3,已知AD为等腰三角形ABC底边上的高，且tanZB--,3满足AE:EC二2:3.那么，tanZADE是(32(A)一(B)一53分析：要求tanZADE值，需要构造包含ZADE的直角三角形,(c4(D)Iff为此需要过点作FE丄AD,只要求得一即可.FD解：因为AD丄BC于D,AB二AC,所以ZBAD=ZCAD,一3所以tanZCAD=—,4EF33作EF丄AD交AD于F,则tanZCAD二——=一，所以EF=-AF,AF44因为tanZB=-,Z

5、B+ZCAD二90°,3因为AD丄BC,EF丄AD,所以EF//CB,-AF3efa]又AE：EC=2：3.所以AF：FD二2：3,所以FE二一AF,所以tanZADE二——=——=-2FD3人口2—AF2故选(C).评注：当所要求锐角三角函数值的角不在直角三角形内时，其解题思路是构造直角三角形或寻找与某个直角三角形相等的角.本采用了构造直角三角形的方法.五、利用方程思想例5、如图4,AABC中,ZC=90°,AC+BC=7(AOBC),AB=5,则tanB二分析：要求tanB,根据锐角三角函数的定义，则需要求到对边AC和邻边BC的长，因为知道斜边AB二5,且AC+B

6、C二7,所以可以根据勾股定理进计算.解：设AC二x,则BC=7-x,根据勾股定理，得x2+（7-x）2=52,解得x=4,一一AC4所以AC二4,BC二3,所以tanB二=—.BC3评注：本题的解题思路是根据己知条件确定ZB的对边和邻边的长，然后根据定义进行求值.同时体现了方程思想在求三角函数值屮的应用.实际上，本题是一道填空题，不通过计算直接观察就可以解决.因为斜边是5,且两条直角边的和为7,所以两条直角边的长分别是4和3.六、数形结合法斤**3psina4-cosa,,_例6、已知tana=—,求：的值.4sina-cosa3分析：解决本题的关键是运用三角函数的定

7、义.由己知条件tana=-,可设在RtA434ABC,Z^90°,Z^a,则有AC=3k,BC=4k,可求出sinci二一，cosci二一，将其代入计55算即可.3解：在RtAJ^中，令Z律90°,上Ba,rfltana=-,可设BO'k,由勾股4定理得〃作5£,所以sina=—,cosa=—.将sina=—,cosa二纟代入得°十以“仪=5555sina-cosa-7.评注：解决本题的巧妙之处正是见“数”（三角函数）思“形”（直角三角形），充分展示了数形结合思想的魅力。