信号与系统教学课件作者王瑞兰第四章节4复频域分析课件

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1、4.4复频域分析一、微分方程的变换解二、系统函数三、系统的S域框图四、电路的S域模型五、拉普拉斯变换与傅立叶变换主要内容:一、微分方程的变换解(以一个二阶微分方程为例）初始状态对方程两边取拉普拉斯变换：设特征多项式零输入响应的象函数零状态响应的象函数即例4.4-1描述某LTI连续系统的微分方程为已知输入求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：对微分方程取拉普拉斯变换，有整理得即例4.4-2描述某LTI连续系统的微分方程为已知输入求和。解：所以，只要先求出零状态响应即可。由上题解：例4.4-3描述某LTI系统的微分方程为

2、已知初始状态激励，求系统的全响应1、自由响应象函数的极点等于系统的特征根。2、系统强迫响应的象函数的极点就是的极点，因而其形式由激励确定。可见：本例中，系统的特征根均为负值，所以自由响应就是瞬态响应。激励函数的单极点的实部为0，强迫响应就是稳态响应。一般而言：系统特征根的实部均为负，自由响应是衰减的，这时自由响应就是瞬态响应。若的极点为单极点且实部为零，强迫响应为等幅振荡或阶跃函数的形式。这时强迫响应就是稳态响应。二、系统函数系统零状态响应的象函数与激励的象函数之比，称为系统函数。用表示。它仅与系统的结构，元件参数有关，而

3、与激励及初始状态无关。系统函数：由系统的微分方程很容易写出。反之由很容易写出微分方程。解：例4.4-4已知某LTI系统的微分方程为求系统的反之已知例4.4-4：描述LTI系统的微分方程为求系统的冲激响应。解：解：例：4.4-5已知当时，某LTI系统的零状态响应求该系统的冲激响应和描述该系统的微分方程。微分方程：三、系统的s域框图下面我们先来看一下基本运算部件的S域模型。aa2、加法器1、数乘器3、积分器（非零初始状态）4、积分器(零状态）yzs(t)1(a)时域框图∫∫∑∑f(t)x(2)(t)233--+++x(1)(t

4、)x(t)例4.4-6某LTI系统的时域框图如图所示，已知输入，求冲激响应和零状态响应。解：先画出S域框图。1∫∫∑∑f(t)x(2)(t)233--+++x(1)(t)x(t)1/s1/s∑∑F(s)Yzs(s)1233--+++X(s)sX(s)s2X(s)yzs(t)例4.4-7若已知例4.4-6系统的初始状态，求系统的零输入响应。1∫∫∑∑f(t)x(2)(t)233--+++x(1)(t)x(t)解：由上题因而零输入响应满足方程：取上式的拉普拉斯变换，得解：当时，当时例4.4-8设某LTI系统的初始状态一定。已知

5、当输入时，系统的全响应；当时，系统的全响应，求当输入时，系统的全响应。由（1）和（2）解得：当激励为时，四、电路的S域模型1、电阻的S域模型(a)时域模型；(b)S域模型2、电容的S域模型(a)串联模型；(b)并联模型3、电感的S域模型(a)串联模型；(b)并联模型例4.4-9图(a)所示RLC系统，us1(t)=2V,us2(t)=4V,R1=R2=1Ω，L=1H，C=1Ｆ。t＜0时电路已达稳态，t=0时开关S由位置1接到位置2。求t≥0时的完全响应iL(t)、零输入响应iLzi(t)和零状态响应iLzs(t)。解(1)

6、求完全响应iL(t)：初始值为：则S域的网孔方程为式中，，把Us2(s)及各元件的值代入网孔方程，解网孔方程得求IL(s)的单边拉氏逆变换，得(2)求零输入响应iLzi(t)：把各元件的值及uC(0-)和iL(0-)的值代入网孔方程，(3)求零状态响应iLzs(t)：如图(d)所示。设零状态响应ILzs(t)的单边拉氏变换为ILzs(s)，可应用网孔分析法求ILzs(s)，然后求ILzs(s)的逆变换得到iLzs(t)。此外，也可以根据S域电路模型求出系统函数H(s)，然后通过H(s)求ILzs(s)和iLzs(t)。令a

7、b端的输入运算阻抗为Z(s)，则有于是得把Z(s)的表示式代入上式得到H(s)为因此得求ILzs(s)的单边拉氏逆变换，得五、因果信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换我们先列出三种信号，分别写出它们的傅里叶变换及拉氏变换：我们前面已经知道知在平面的收敛条件是，但可能有三种情况：此时收敛域在右半平面，不包括虚轴。所以，是不存在的。也就是说，当时，存在拉氏变换，但不存在傅氏变换。此时收敛域起于左半S平面，包括虚轴。所以，是存在的。也就是说，当时，存在拉氏变换，也存在傅氏变换。只要将s换成即可。这时它的傅里叶变换和拉氏变换同时存在，但

8、傅里叶变换中含有冲击函数或其导数。不能。ℱa.在虚轴上有单极点例如：不能直接将代入。但中的实部相当于，而其虚部相当于中各部分分式极点处具有一个函数。其强度为该极点处系数乘以。如：ℱ例4.4-10已知求。解：b.若在虚轴上有多重极点，则亦可由拉氏傅氏，但计算较复杂。例4.4-11已知的象函数为，求其傅立叶