信号与系统教学课件作者王瑞兰第五章节1离散系统的时域分析课件

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1、第五章离散系统的时域分析连续系统:用微分方程来描述，有卷积积分的概念。离散系统:用差分方程来描述，有卷积和的概念。离散系统：激励用表示，响应用表示。初始状态用表示。()kfLTI离散系统的全响应：零输入响应零状态响应本章主要内容1、LTI离散系统的响应2、单位序列和单位序列响应3、卷积和一、差分与差分方程1、一阶差分的定义及序列求和运算一阶前向差分定义为：设有序列，则称等为的移位序列。一阶后向差分定义为：一阶前、后向差分的关系：5.1LTI离散系统的响应序列求和运算为：2、差分的线性性质：差分具有线性性质。（证明如下）由差分的定义，若有序列和常数则：3、二阶及更高阶差分定义类似地，可定义

2、三阶、四阶等高阶差分.4、差分方程差分方程是包含关于变量的未知序列及其各阶差分的方程式，它的一般形式可写为：阶差分方程。由于各阶差分均可写成及其各移位序列的线性组合，故通常所说的差分方程是指如下的形式：阶差分方程。例如5、线性常系数差分方程如果及其各移位序列均为一次式，就称其为线性的。如果及其各移位序列的系数均为常数，就称其为常系数差分方程。**描述LTI离散系统的是线性常系数差分方程。差分方程是具有递推关系的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得差分方程的数值解。已知初始条件，激励，求。例5.1-1若描述某离散系统的差分方程为解：类似地，依次迭代可得对于将初始条件代入，得差分

3、方程的一般形式：式中都是常数。它的解：齐次解特解二、差分方程的经典解齐次解：齐次方程的解，称为齐次解。齐次解由形式为的序列组合而成。为特征方程的根，称为差分方程的特征根。不同特征根所对应的齐次解形式不同。特征根齐次解单实根重实根一对共轭复根或重共轭复根表5-1不同特征根所对应的齐次解）特解：特解的形式与激励的函数形式有关，表5-2列出了几种不同激励所对应的特解。表5-2不同激励所对应的特解激励特解所有特征根均不为1有重为1的特征根当不等于特征根时。当是特征单根时。当是重特征根时。当所有的特征根均不等于0111pkpkpkpmmmm++++--Lkkkkapkapakpakp0111+++

4、+--Lgggg全解：n阶线性差分方程的全解是齐次解与特解之和。如果方程的特征根均为单根，则差分方程的全解为：各系数由给定的n个初始条件确定。下面我们来看两道用经典法求解差分方程的例题。例5.1-2若描述某系统的差分方程为已知初始条件激励求方程的全解。解：首先求齐次解。特征方程为：再求特解：根据激励的形式由表3-2可知特解将、和代入到原方程，得于是特解差分方程的全解将初始条件代入，有自由响应强迫响应例5.1-3若描述某离散系统的差分方程为已知初始条件激励为有始的周期序列求其全解。解：特征方程为齐次解由表5-2根据激励的形式可设特解：代入原方程整理得：差分方程的全解将初始条件代入，有自由响

5、应（瞬态响应）强迫响应（稳态响应）当激励为有始周期序列或阶跃序列且系统特征根的模小于1时，系统的自由响应会随着k的增大而衰减到0，因此自由响应部分又称为瞬态响应，而强迫响应部分称为稳态响应。LTI离散系统的全响应是零输入响应与零状态响应之和。零输入响应：在零输入条件下，方程为齐次方程。若特征根均为单根，则零输入响应为：三、零输入响应和零状态响应其中，为待定系数零状态响应：若系统的初始状态为零，这时方程仍是非齐次方程，若特征根均为单根，则其零状态响应为：其中，为待定系数系统的全响应可分为自由响应和强迫响应，也可分为零输入响应和零状态响应，它们的关系是：一般而言，如果激励是在时接入的，通常以

6、描述系统的初始状态。例5.1-4若描述某离散系统的差分方程为已知初始条件激励求系统的零输入响应和零状态响应。解（1）零输入响应满足方程由初始状态知：由方程利用迭代可得将代入得由方程利用迭代可得：（2）零状态响应满足方程先求和将代入得例5.1-5若描述某离散系统的差分方程为已知初始条件激励求零输入响应的初值和零状态响应的初值。解：先求出零状态响应零状态响应同上题：则本节小结1、LTI离散系统差分方程的经典解2、LTI离散系统的零输入响应和零状态响应