力学讲义-3刚体的定轴转动

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1、第三章刚体的定轴转动一、知识要点1.描述刚体定轴转动的物理量角位移：Δθ=+θθ()(tttΔ−)角速度：dθω=dt角加速度：2ddωθβ==2ddtt2距转轴r处质元的线量与角量的关系：υ=rω，ar=β，ar=ωτn匀速定轴转动公式：θ=θω+t0匀变速定轴转动公式：ω=ωβ+t，012θ=++θωttβ，00222ω=+ωβ2(θ−θ)002．刚体定轴转动定律：刚体所受的外力对转轴的力矩之和等于刚体对该转轴的转动惯量与刚体的角加速度的乘积，即dωM==JJβzzzdt其中J为刚体对定轴的转动惯性，z2Jmzi=Δ∑rii对

2、于质量连续分布的刚体，有：2Jr=dmz∫V转动惯量的平行轴定理：12JJm=+dz质心转动惯量的垂直轴定理：JJJ=+zxy3．定轴转动刚体的动能定理力矩的功：θ2AM=dθ∫zθ1转动动能：12EJ=ωkz2动能定理：1122AJ=−ωJωzz022刚体的重力势能：E=mghp质心机械能守恒定律：系统（包括刚体）只有保守力的力矩作功时，系统的动能（包括转动动能）与势能之和为常量，即EEE=+=常量kp4．定轴转动刚体的角动量定理及其守恒定律角动量定理：对一固定轴，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量，即t2MdtJ=−ωJω∫

3、zzz21t1角动量守恒定律：当系统（刚体）所受的外力对某固定轴的合外力矩为零时，则系统对该轴的角动量保持不变，即M=0时，Jω=常量zz5．刚体的平面平行运动动能：作平面平行运动的刚体的动能等于质心的平动动能与刚体绕过质心的轴的转动动能之和，即1122EmJ=+υωkcc22二、名师指点与质点相似，刚体也是一个抽象的理想模型，对其只考虑形状，而不考虑运动过程中的形变。刚体定轴转动的特征是刚体内每个质元都在与转轴垂直的平面内做圆周运动，所有质元的角速度、角加速度均相同；由于各质元距转轴的距离不同，即作圆周运动的半径不同，故各质元的

4、线速度、线加速度不同。与质点动力学相似，对于刚体定轴转动存在着一些与质点直线运动相对应的定理和定律，为便于记忆和理解，此处给出了质点一维运动与刚体定轴转动的相应公式：2质点一维运动刚体定轴转动位移Δx角位移Δθdxdθ速度υ=角速度ω=dtdt22ddυxddωθ加速度a==角加速度β==22ddttddtt质量m2转动惯量Jrm=∫dhhhh力F力矩M=rF×hhgghgh运动定律Fm=a转动定律M=Jβhhhhgh动量Pm=υ角动量∑LJLi＝＝ωghghdpghdLggh动量定理=F角动量定理=MdtdthhhhhhFtmd

5、=−υmυMdtJ=−ωJω∫21∫21动量守恒定律角动量守恒定律hhhh当∑F=0时，∑miiυ=恒量当M=0时，∑Jω=恒量hh力的功AFr=∫⋅d力矩的功AM=∫dθ1212动能Em=υ转动动能EJ=ωkk转22动能定理转动动能定理11221122Amm=−υυAJ=−ωJω合外力21合外力矩212222重力势能Em=gh重力势能Em=ghpp质心机械能守恒定律机械能守恒定律当AA+=0时若只有重力矩作功，则刚体与地球系统的机外非械能守恒，即EE+=恒量kpEE+=恒量kp从上表可以看出，刚体定轴转动的有关物理量与公式与和质

6、点运动有关物理量、公式一一对应，但在使用时要注意其区别：3（1）质点的（惯性）质量是不变的，而刚体的转动惯量却因转轴位置、质量分布的不同而不同。（2）改变质点运动状态的是力，而改变刚体转动状态的则是力矩。（3）讨论刚体定轴转动时，重力势能为刚体质量集中在质心时的重力势能（即各质量元重力势能的总和），弹性势能仍为其形变势能。对于刚体定轴转动，其解题方法与质点动力学相似。在质点动力学中，解题时主要采用的是牛顿第二定律、动量定理、动量守恒定律和机械能守恒定律等。在刚体力学中，解题时对应的应是转动定律、角动量定理、角动量守恒定律和机械能守

7、恒定律等。当刚体运动既有平动又有转动时，刚体的机械能应为质心所代表的平动能、绕过质心轴（或其他轴）的转动能、重力势能和弹性势能之和。三、习题精解例3—1、两个半径不同的同轴滑轮固定在一起，两滑轮半径分别为r和R。下面悬二重物，质量分别为m和m，如图3-1（a）所示。滑轮的转动惯量为J。12绳的质量，绳的长度，轴承摩擦均不计。求重物m下降的加速度和两边绳中的1张力。【思路分析】与质点动力学相似，可对m、m分别分析受力写出运动方12程，另外对滑轮分析受外力矩列转动定律方程，然后解之。解如图3-1（b）对m、m由牛顿第二定律12mgT−

8、=ma（1）1111Tmgma−=（2）2222对滑轮，由转动定律TRTrJ−=β（3）12又因aa12β==（4）Rr联立（1）～（4）式，可得2(mR12−mRrg)a=（5）122JmRmr++122()JmrmR++r22Tm=g（6）11