2、3,故②正确;∵-=1,∴b=-2a,当x=-1时,y=0,即a-b+c=0,∴3a+c=0,故③错误;当y>0时,x的取值范围是-10,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列图象之一,则a的值是(B)A.1B.-1C.D.2.在-3≤x≤0范围内,二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示.在这个范围内,有结论:①y1有最大值1、没有最小值;②y1有最大值1、最小值-3;③函数值y1随x的增大而增大;④方程ax2+bx+c=2无解;⑤若y2=2x+4,
3、则y1≤y2.其中正确的个数是(B)A.2B.3C.4D.53.某篮球运动员身高1.91m,在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=-x2+的一部分(如图),若命中篮圈中心,则他与篮底的距离约为(B)A.3.2mB.4mC.4.5mD.4.6m4.我们知道,经过原点的抛物线的表达式可以是y=ax2+bx(a≠0).(1)对于这样的抛物线:当顶点坐标为(1,1)时,a= -1 ; 当顶点坐标为(m,m),m≠0时,a与m之间的关系式是 a=- . (2)继续探究,如果b≠0,且过原点的抛物线顶点在直线y=kx(k≠0)上,请用含k的代数式表示b.解:(2)∵a≠0,∴y=ax2+bx=a
4、,∴顶点坐标是.又∵该顶点在直线y=kx(k≠0)上,∴k=-.∵b≠0,∴b=2k.类型2 求二次函数的表达式典例2 已知二次函数的顶点坐标为(2,-2),且其图象经过点(3,1),求此二次函数的表达式,并求出该函数图象与y轴的交点坐标.【解析】设二次函数的表达式为y=a(x-2)2-2,把(3,1)代入y=a(x-2)2-2,得a(3-2)2-2=1,解得a=3,所以二次函数的表达式为y=3(x-2)2-2,当x=0时,y=3×4-2=10,所以函数图象与y轴的交点坐标为(0,10).【针对训练】1.某二次函数的最大值为2,图象的顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(2,1),
5、则这个二次函数的表达式为 y=-x2+2x+1 . 2.(黄石中考)已知抛物线y=a(x-1)2过点(3,1),D为抛物线的顶点.(1)求抛物线的表达式;(2)若点B,C均在抛物线上,且∠BDC=90°,求点C的坐标.解:(1)将点(3,1)代入表达式,得4a=1,解得a=,所以抛物线的表达式为y=(x-1)2.(2)由(1)知点D的坐标为(1,0),设点C的坐标为(x0,y0)(x0>1,y0>0),则y0=(x0-1)2,过点C作CF⊥x轴于点F,∴∠BOD=∠DFC=90°,∠DCF+∠CDF=90°,∵∠BDC=90°,∴∠BDO+∠CDF=90°,∴∠BDO=∠DCF,∴△
6、BDO∽△DCF,∴,∴,化简得,解得x0=17,检验知x0=17是分式方程的解,此时y0=64,∴点C的坐标为(17,64).类型3 二次函数与一元二次方程典例3 已知二次函数y=2x2-mx-m2.(1)求证:对于任意实数m,这个二次函数的图象与x轴总有公共点;(2)若这个二次函数图象与x轴有两个公共点A,B,且B点坐标为(1,0),求点A的坐标.【解析】(1)Δ=(-m)2-4×2×(-m2)=m2+8m2=9m2≥0,则对于任意实数m,这个二次函数的图象与x轴总有公共点.(2)由题意得2×12-m-m2=0,解得m1=1,m2=-2,当m=1时,二次函数为y=2x2-x-1,
7、令y=0,即2x2-x-1=0,解得x1=1,x2=-,则点A的坐标为;当m=-2时,二次函数为y=2x2+2x-4,令y=0,即2x2+2x-4=0,解得x1=1,x2=-2,则点A的坐标为(-2,0),综上所述,点A的坐标为或(-2,0).【针对训练】1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列说法错误的是(D)A.图象关于直线x=1对称B.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最小值是-4C.-1和3是方程ax2+bx+c=0(a
