初中数学竞赛——圆1.圆的基本性质

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1、初二数学超前班八年级第1讲圆的基本性质知识总结归纳一．圆的定义：（1）描述性定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点叫做圆心，叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以为圆心，为半径的圆记作“”，读作“圆”。（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等．二．弦和弧：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．（2）直

2、径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的倍．（3）弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的圆弧记作，读作弧．（5）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（6）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（7）优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（8）弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．三．垂径定理：（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平

3、分弦所对的两条弧；平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．（3）推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．四．圆心角和圆周角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．（2）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这

4、边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（4）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．13思维的发掘能力的飞跃初二数学超前班八年级推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．五．直线与圆的位置关系设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表：位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点．直线与相离相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，唯一公共点叫做切点．直线与相切相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线．

5、直线与相交六.切线的判定（1）定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．七.弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。典型例题一.垂径定理及圆的对称性【例1】如图所示，在与三角形所组成的图形中，，求证:．【例2】如图所示，同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，试证明：．13思维的发掘能力的飞跃初二数学超前班八年级【例1】如图，矩形与圆心在上的交于点，，，，则_______．【例2】如图所示，在中，，，若以为圆心、的长为半径的圆交于，则_______．【例3】如图

6、，已知的半径是，点到圆心的距离为，求过点的所有弦中最短弦的长度．【例4】如图，在的直径上取一点，过作两条弦、，若，求证：．BDQPOCAM13思维的发掘能力的飞跃初二数学超前班八年级一.圆心角和圆周角【例1】如图，是的外接圆，已知，则的大小为_______．【例2】已知：如图，四边形是的内接正方形，点是劣弧上不同于点的任意一点，则的度数是_______．【例3】如图，量角器外沿上有两点，它们的度数分别是，则的度数为_______．【例4】如图，是的直径，是的弦．若，则的大小为_______．13思维的发掘能力的飞跃初二数学超前班八年级【例1】如图，已知，弧的度数为，求弧和的度数

7、【例2】已知如图，的外角平分线交其外接圆于，连接、，求证：．【例3】如图，锐角内接于圆，，作交劣弧于点，连结，求．OBCEA【例4】如图，是的直径，点，，都在上，若，求．13思维的发掘能力的飞跃初二数学超前班八年级【例1】过上一点作弦，使，如图，过点作于，于，求证：．【例2】已知点、、顺次在圆上，弧，于，求证：．OCDABM一.直线与圆相切【例3】如图，为等腰三角形，，是底边的中点，与腰相切于点，求证：与相切．【例4】如图所示在中，，的平分线交于，为上一点，13思维的发掘能力的飞跃初二数学超